José Ramírez Labrador

El cuerpo de los números complejos C es un supercuerpo de los reales que
es conmutativo,  cerrado algebraicamente y completo. Las funciones definidas en
subconjuntos de R con valores reales se extienden de forma natural a funciones
definidas en subconjuntos de C con valores en C.  Por ejemplo, si una función
real tiene un desarrollo de Taylor en un punto a con radio de convergencia
r>0,  la serie de Taylor correspondiente, considerando x como variable
compleja, converge en el disco B(a,r) del plano a una función infinitamente
diferenciable. De esta forma el análisis real se extiende de forma natural al
estudio de las funciones definidas de un subconjunto de C con valores en C.
Por otra parte el plano complejo es equivalente como espacio vectorial a
R^2 y la distancia inducida entre los números complejos por el módulo equivale
a la distancia euclidea en el plano por lo que es conveniente un conocimiento
previo de Análisis de una y varias variables reales, Topología y Espacios
Métricos .
El primer resultado importante es la equivalencia de diferenciabilidad en
el sentido de C con la diferenciabilidad en el sentido de R^2 más unas
condiciones adicionales: las condiciones de Cauchy-Riemann. La consecuencia es
importante: no todas las funciones diferenciables en el sentido de R^2 son
diferenciables en el sentido de C.
De hecho se probará un resultado sorprendente: el T de Cauchy -Goursat es
decir una funcion de variable compleja con valores complejos es holomorfa
(=diferenciable en el sentido de C) si y solo si es analítica (= infinitamente
diferenciable y con serie de Taylor convergente). En el transcurso de este
estudio se probará una representación integral de las funciones holomorfas (la
fórmula integral de Cauchy) por lo que utilizarán integrales a lo largo de
curvas lo que hace necesario un conocimiento previo de integración (basta con
la integral de Riemann) y de integración a lo largo de curvas en R^2.
Las series de potencias reales se extienden al caso complejo de forma
sencilla, lo que permite explicar, por ejemplo, que 1/(1+x^2) sea
infinitamente diferenciable en R pero su desarrollo en serie de potencias en el
origen sólo tiene radio =1. A partir de la representación integral de las
funciones y de su generalización para las derivadas se demuestra que la serie de
Taylor de una función holomorfa converge uniformemente en los compactos del disco
de convergencia a la función. A partir de aquí se deduce el principio de
identidad: si dos funciones holomorfas en A región (=abierto conexo) coinciden
en una sucesión de puntos con límite en A  entonces son idénticas en A. Se
generaliza la serie de Taylor a la serie de Laurent lo que permite estudiar
las singularidades aisladas de las funciones analíticas.
Se estudia el T de los residuos que permite relacionar el valor de la
integral de una función con el comportamiento de las  singularidades del
integrando y se estudian diversos teoremas muy interesantes sobre funciones
analíticas: el principio del módulo máximo, el principio del argumento, el
lema de Schwarz, el T de aplicación local, ...
Aunque se estudiará con más profundidad en la asignatura Ampliación de
Variable Compleja, se introduce la necesidad de manejar adecuadamente las
funciones multiformes: logaritmo, raíces, detectar los puntos de ramificación,
entender que al prolongar a lo largo de una circunferencia podemos cambiar de
rama, la necesidad de elegir una rama concreta, la imposibilidad de definir de
forma continua el logaritmo o la raíz en el plano excepto el origen y como
esto está relacionado con los T conocidos de la función inversa o función
implícita.
El estudio de las funciones definidas en regiones de C (cuerpo de los
números complejos)  con valores en C es muy interesante funciones Como
estructura matemática abstracta, los espacios métricos constituyen el
fundamento indispensable para un estudio serio y riguroso del Análisis
Matemático y puede presentarse en forma de una hermosa teoría acabada, muy
asequible a la intuición geométrica y poco propensa a presentar fenómenos
patológicos.
El esquema que predomina es definición-teorema-demostración, con
abundantes ejercicios y ejemplos. Se procurará relacionar los conceptos con otros
de análisis real. Esperamos ser capaces de transmitir la belleza de las
propiedades de las funciones analíticas, que aunque pocas en número, están en
la base de las aplicaciones matemáticas: física, ciencias experimentales,
modelos matemáticos, ecuaciones diferenciales, ... y cómo muchas
particularidades del análisis real se entienden mejor desde los complejos.

Pretendemos que el alumno sea capaz de utilizar programas de cálculo simbólico
para realizar cálculos con funciones de variable compleja y entender su
comportamiento (transformaciones conformes).

-El cuerpo de los números complejos, topología, el plano ampliado. Funciones
de
variable compleja, continuidad y derivabilidad. Funciones holomorfas,
Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Aplicaciones conformes. Funciones elementales.
-Integración, homotopía. Diversas formulaciones del teorema de Cauchy-Goursat.
Formula integral de Cauchy, teorema de Liouville, teorema de Morera, principio
del módulo máximo, lema de Schwarz.
-Sucesiones y series de funciones complejas, series de potencias, funciones
analíticas. Serie de Taylor, principio de identidad, principio de simetría.
Singularidades aisladas, serie de Laurent. Teorema de los residuos, principio
del argumento, teorema de Rouche, aplicaciones.

Explicación de la teoría.
Resolución de problemas por parte del profesor.
Resolución de problemas por parte del alumno.
Prácticas con el programa Mathematica para realizar cálculos con funciones de
variable compleja (aprox medio crédito)

El elemento básico de la evaluación es el Examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el Decanato de la Facultad. Consiste en
una prueba escrita con una duración de hasta 4 horas y en la que el alumno
deberá responder a dos tipos de contenidos: el primero se refiere a cuestiones
teóricas, sobre conceptos y cuestiones básicas directamente deducibles de los
mismos en las que se evaluará el conocimiento del alumno sobre enunciados y su
nivel de comprensión; el segundo se refiere a la resolución de problemas en el
que se evaluará la capacidad del alumno para enfrentarse a situaciones ya
conocidas (problemas propuestos en clase) y a otras situaciones nuevas.
Habitualmente, consta de tres preguntas divididas en apartados.

Bibliografía básica


Ahlfors L.V. Complex Analysis 3ª ed, McGraw-Hill 1979
Marsden J.E. Hoffman M.J. Basic Complex Analysis 2ª ed, Freeman 1987
Markushevich A.I. Teoría de las funciones analíticas. Mir 1970


Bibliografía complementaria
Hille E. Analitic function theory, Chelsea 1977
Lang S. Complex Analysis 3ª ed, Springer Verlag 1993
Needham T. Visual complex analysis, Oxford Univ. Press 1997
Volkovyski L. Lunts G. Aramanovich I. Problemas sobre la teoría de variable
compleja, Mir 1972