Francisco José González Gutiérrez.
Alberto Fernández Ros.

Objetivos
-Definir y conocer los significados de las operaciones entre conjuntos y
resolver ejercicios en los que se apliquen las mismas.
-Utilizar los principios básicos para contar elementos de conjuntos.
-Aplicar conceptos de combinatoria para calcular el número de formas en que
pueden organizarse unos objetos dados.
-Ordenar y clasificar elementos de un conjunto utilizando relaciones de orden
y de equivalencia.
-Conocer el concepto de función, tipos de funciones e inversa de una función.
-Definir la divisibilidad en el conjunto de los números enteros y saber sus
propiedades.
-Conocer el teorema fundamental de la aritmética y su utilización en la
obtención de los divisores de un número.
-Obtener el conjunto de las clases de restos módulo m y operar con sus
elementos.
-Resolver ecuaciones en recurrencias.
-Definir los conceptos elementales que sustentan la teoría de grafos,
representarlos y resolver ejercicios relacionados con dichos conceptos.
-Saber el concepto de árbol y analizarlo.

1.Conjuntos y Subconjuntos.
Definiciones.
Inclusión de conjuntos.
Diagramas de Venn.

2.Operaciones con Conjuntos.
Unión.
Intersección.
Diferencia.
Complementario.
Diferencia Simétrica.
Álgebra de conjuntos. Dualidad.
Conjunto de las partes de un conjunto.
Producto cartesiano de conjuntos.

3.Principios Básicos de Conteo.
Partición de un conjunto.
Cardinal de un conjunto.
Principio de adición.
Principio de multiplicación.
Principio de inclusión-exclusión.
Principio de distribución.

4.Combinatoria
Permutaciones.
Variaciones.
Combinaciones. Teorema del Binomio.

5.Relaciones.
Definiciones.
Relaciones binarias.
Matrices Booleanas. Operaciones.
Matriz de una relación.
Grafo dirigido de una relación.
Propiedades de las relaciones.
Operaciones con relaciones.

6.Relaciones de Orden.
Generalidades.
Orden estricto.
Conjuntos ordenados.
Producto.
Representación gráfica.
Ordenación topológica.
Elementos característicos de un conjunto ordenado.

7.Relaciones de equivalencia.
Definición.
Clases de equivalencia.
Conjunto cociente.

8.Funciones.
Definiciones y generalidades.
Composición de funciones.
Tipos de funciones.
Imagen de un subconjunto.
Imagen inversa o recíproca de un subconjunto.
Función inversa.
Composición de funciones e inversa de una función.

9.Divisibilidad. Algoritmo de la división.
Algoritmo de la división.
Sistemas de numeración.
El principio del buen orden.
Divisibilidad.
Criterios de divisibilidad.
Máximo común divisor.
Algoritmo de Euclides.

10.Teorema Fundamental de la Aritmética.
Números primos.
Criba de Eratóstenes.
Teorema fundamental de la aritmética.
Divisores de un número.
Método para el cálculo del máximo común divisor.
Mínimo común múltiplo.

11.Ecuaciones Diofánticas.
Generalidades.
Solución de una ecuación diofántica.

12.Clases de restos módulo m.
Conceptos básicos.
Propiedades.
Conjunto de las clases de restos módulo m.
Aritmética modular.
Euler, Fermat y Wilson.
Teorema Chino del resto.
12.Ecuaciones de Recurrencia.
Introducción.
Solución.
13.Ecuaciones de recurrencia lineales.
Propiedades de la solución.

14.Lineales de Primer Orden.
Generalidades.
Homogéneas con coeficientes constantes.
No homogéneas con coeficientes constantes.
Homogéneas con coeficientes no constantes.
No homogéneas con coeficientes no constantes.

15.Lineales de Segundo Orden.
Generalidades.
Homogéneas con coeficientes constantes.
No homogéneas.
Dos algoritmos recursivos.
Algoritmos de dividir y vencer.

16.Grafos.
Definiciones.
Grados.
Isomorfismo.
Subgrafos.
Caminos y ciclos.
Grafos conexos.
Caminos y ciclos de Euler.
Caminos y ciclos de Hamilton.
Representación de grafos.

17.Grafos Planos.
Definiciones y Ejemplos.
Teorema de Kuratowski.
Fórmula de Euler.
Grafo dual.
Coloración de grafos.

18.Árboles.
Definiciones.
Propiedades.
Análisis de un árbol.
Árboles de búsqueda.
Representación de expresiones algebraicas.
Codificación.

La asignatura se desarrolla en cuatro clases semanales a lo largo del primer
cuatrimestre. Durante las clases el profesor irá desarrollando los contenidos
del programa y proponiendo ejercicios para su resolución por parte de los
alumnos.

La evaluación de la asignatura se hará en base a una prueba escrita en la fecha
y hora que establezca la convocatoria oficial de la Dirección de la Escuela
Superior de Ingeniería. La materia a evaluar será siempre la que se imparta
durante el curso académico.

Dicha prueba tendrá una duración aproximada de 4 horas y constará de cinco
ejercicios en los que se mezclarán cuestiones teóricas con la resolución de
problemas relacionados con las mismas. Se evaluará tanto la capacidad del
alumno para resolver problemas ya conocidos, como para abordar situaciones
nuevas.

En la calificación de cada uno de los ejercicios se valorará, además del
resultado, el que:

-desarrolle o no los ejercicios de forma clara y con orden, detallando los
pasos que va dando.
-Demuestre o no que tiene idea de la mayoría de las técnicas y conceptos
involucrados en el examen.
-Razone o no de forma correcta.
-Cometa o no errores de concepto.

Matemáticas Discreta y Combinatoria.
Ralph P. Grimaldi.
Addison-Wesley Iberoamericana.

Elementos de Matemática Discreta.
E. Bujalance, J. A. Bujalance, A. F. Costa y E. Martínez.
U.N.E.D. Editorial Sanz y Torres.

Problemas de Matemática Discreta.
E. Bujalance, J. A. Bujalance, A. F. Costa y E. Martínez.
U.N.E.D. Editorial Sanz y Torres.

201 Problemas resueltos de Matemática Discreta.
Vicente Meavilla Seguí.
Prensas Universitarias de Zaragoza.

Matemática Discreta.
Félix García Merayo.
Editorial Thomson.

Problemas Resueltos de Matemática Discreta.
Félix García Merayo.
Gregorio Hernández Peñalver.
Antonio Nevot Luna.
Editorial Thomson.

Apuntes de Matemática Discreta.
Francisco José González Gutiérrez.