José Manuel Díaz Moreno

Conocer el concepto de distancia y la estructura de espacio métrico.
Saber distinguir cuándo un conjunto es abierto o cerrado en función de la
distancia definida.
Saber hallar los subconjuntos notables relativos a un conjunto dado y conocer
sus propiedades topológicas.
Conocer las nociones de conjunto conexo, conjunto compacto y conjunto completo.
Tener familiaridad con los conjuntos conexos, compactos y completos en R y R^n
con las distancias habituales.
Conocer el concepto de continuidad de aplicaciones entre espacios métricos.
Establecer las relaciones entre las aplicaciones continuas y las propiedades
de los conjuntos.
Conocer los conceptos y teoremas fundamentales acerca de los espacios métricos.

1. El concepto de distancia. Espacios métricos

1.1 La distancia euclídea en R. Propiedades básicas.
1.2 Distancias habituales en R2. Propiedades básicas.
1.3 La noción de distancia en un conjunto. Propiedades.
1.4 El concepto de espacio métrico.

2. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados

2.1 Bolas abiertas y bolas cerradas.
2.2 Conjuntos abiertos. Resultados básicos.
2.3 Conjuntos cerrados. Resultados básicos.

3. Interior, exterior y frontera de una conjunto

3.1 Punto interior a un conjunto. Interior de un conjunto.
3.2 Punto exterior a un conjunto. Exterior de un conjunto.
3.3 Punto frontera de un conjunto. Frontera de un conjunto.
3.4 Propiedades topológicas.

4. Adherencia y acumulación de un conjunto.

4.1 Punto adherente a un conjunto. Adherencia de un conjunto.
4.2 Propiedades de la adherencia de un conjunto.
4.3 Subconjuntos densos.
4.4 Resultados principales sobre conjuntos densos.
4.5 Punto de acumulación. Acumulación de un conjunto.

5. Subespacios métricos

5.1 Distancia inducida en un subconjunto.
5.2 Subespacios métricos.
5.3 Abiertos y cerrados en los subespacios.
5.4 Interior, exterior, frontera y adherencia en los subespacios.

6. Conjuntos conexos

6.1 Conjuntos separados.
6.2 Conjuntos conexos.
6.3 Caracterización de los conjuntos conexos.
6.4 Componentes conexas.
6.5 Conjuntos conexos en la recta real.

7. Conjuntos compactos

7.1 Conjuntos acotados en R.
7.2 Conjuntos acotados en un espacio métrico.
7.3 Diámetro de un conjunto.
7.4 Conjuntos totalmente acotados.
7.5 Recubrimientos abiertos de un conjunto.
7.6 Conjuntos compactos.
7.7 Resultados básicos sobre conjuntos compactos.
7.8 Conjuntos compactos en R y Rn .

8. Sucesiones

8.1 Sucesiones en R.
8.2 Sucesiones en R2.
8.3 Sucesiones en un espacio métrico. Convergencia.
8.4 Subsucesiones. Convergencia.
8.5 Sucesiones de Cauchy.
8.6 Espacios completos. Conjuntos completos.
8.7 Conjuntos completos en R y Rn.
8.8 Conjuntos compactos en Rn (revisión).

9. Aplicaciones entre espacios métricos. Continuidad

9.1 Aplicaciones entre espacios métricos.
9.2 Continuidad local.
9.3 Continuidad global. Teoremas de conservación.
9.4 Continuidad uniforme.
9.5 Homeomorfismos e isometrías.

10. Introducción a los espacios normados

10.1 Espacios normados.
10.2 Topología de los espacios normados.
10.3 Normas equivalentes.
10.4 Aplicaciones lineales continuas.
10.5 Espacios normados de dimensión finita.

Explicación de la teoría.
Resolución de problemas por parte del profesor.
Resolución de problemas por parte del alumno.

Nº de Horas (indicar total): 60

• Clases Teóricas: 32  
• Clases Prácticas: 20  
• Exposiciones y Seminarios:  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 8  
  • Individules:  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado:  
  • Sin presencia del profesorado:  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio:  
  • Preparación de Trabajo Personal:  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 4  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal):  

Opción A. Alumnos que elijan participar en el EEES
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Dentro del marco de adaptación al EEES, se ha previsto la
realización de cuatro pruebas de evaluación a lo largo del curso que
se realizarán previsiblemente en las semanas 4, 7, 10 y 13 o,
quizás, 14.

Tales pruebas se calificarán con A (excelente), B (bien), C
(suficiente), D (con deficiencias) o E (muy deficiente). Los alumnos
que alcancen al menos C en todas las pruebas se les considerará
aprobada la asignatura. En otro caso, deberán acudir al \emph{examen
de la asignatura} (véase el apartado siguiente) en el que podrán
optar por contestar a las cuestiones planteadas referentes a la
parte o partes no superadas. A juicio del profesor alguna parte no
superada puede ser compensada con la calificación de alguna de las
pruebas posteriores.

Opción B. Alumnos no acogidos al marco de EEES
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Para los alumnos que opten por el marco tradicional, el elemento
básico de la evaluación es el \emph{examen de la asignatura} en la
convocatoria oficial establecida por el Decanato de la Facultad.
Consiste en una prueba escrita con una duración aproximada de 3
horas o 3 horas y media y en la que el alumno deberá responder a dos
tipos de contenidos: el primero se refiere a cuestiones teóricas,
sobre conceptos y cuestiones básicas directamente deducibles de los
mismos en las que se evaluará el conocimiento del alumno sobre
enunciados y su nivel de comprensión; el segundo se refiere a la
resolución de problemas en el que se evaluará la capacidad del
alumno para enfrentrarse a situaciones ya conocidas (problemas
propuestos en clase) y a otras situaciones nuevas.

El examen se puntuará sobre 10 puntos, superándose la asignatura con
un mínimo de 5 puntos. Aunque las distintas preguntas se puntuarán
independientemente, los errores conceptuales de carácter grave darán
lugar a la no superación de la asignatura, independientemente de la
puntuación obtenida en los restantes ejercicios.

Naturaleza de las pruebas
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Pruebas en las que el alumno deberá responder a dos tipos de
contenidos: el primero se refiere a cuestiones teóricas, sobre conceptos y
cuestiones básicas directamente deducibles de los mismos en las que se
evaluará el conocimiento del alumno sobre enunciados y su nivel de
comprensión; el segundo se refiere a la resolución de problemas en el que
se evaluará la capacidad del alumno para enfrentrarse a situaciones
ya conocidas (problemas propuestos en clase) y a otras situaciones nuevas.

Bibliografía básica

Introducción a la topología de los espacios métricos.
José Manuel Díaz Moreno
Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz.

Topología de espacios métricos.
Ignacio L. Iribarren.
Editorial Limusa.