Elena Medina Reus

Conocer los diferentes métodos numéricos para aproximar soluciones de
problemas de valores iniciales y problemas de contorno asociados a ecuaciones
diferenciales ordinarias.

Aprender a realizar programas sencillos para aplicar los métodos.

Proporcionar la capacidad de elegir adecuadamente el método para un problema
determinado. Saber comparar los diferentes métodos en función del esfuerzo de
cálculo que supone cada uno y los resultados obtenidos.

Manejar adecuadamente cotas y estimaciones de los errores.

1. El método de Euler y el teorema de existencia y unicidad: Fundamentos.
Construcción de la sucesión de aproximaciones, convergencia a la solución del
problema. Error de truncamiento y errores de redondeo en el método de Euler.

2. Otros métodos de un paso para ecuaciones de primer orden: Error local de
truncamiento y orden de convergencia. Métodos de Runge-Kutta y métodos con
paso variable. Convergencia, consistencia y estabilidad de los métodos de un
paso.

3. Métodos multipaso para ecuaciones de primer orden: Fundamentos. Métodos
explícitos y métodos implícitos. Métodos basados en integración. Métodos
predictor-corrector. El método multipaso general lineal. Errores de
truncamiento (error genuino de truncamiento y error de inicialización) en los
métodos multipaso. Convergencia, consistencia y estabilidad de
los métodos multipaso. Estabilidad débil y parámetros de crecimiento.

4. Métodos numéricos para sistemas de ecuaciones y ecuaciones de orden
superior: Transformación de los métodos conocidos para sistemas de ecuaciones
y ecuaciones de orden superior. Métodos de Nyström (un paso) para ecuaciones
especiales de segundo orden. Métodos multipaso para ecuaciones especiales de
segundo orden (métodos de Störmer y métodos de Cowell): propiedades.

5. Resolución numérica de problemas de contorno: Problemas de contorno de clase
M. Existencia y unicidad de solución para un problema de contorno de tipo M.
Métodos de diferencias finitas para problemas lineales
y no lineales. Método de Newton para resolver el sistema de ecuaciones
asociado. Algoritmo LU de Crout para resolver los sistemas lineales
tridiagonales que aparecen en la aplicación de los métodos. El método de
colocación. Introducción a los métodos variacionales.

Clases teóricas impartidas por el profesor.

Clases prácticas en las que se motiva al alumno a que aborde los problemas por
sí mismo, haciendo uso del ordenador,
y consulte y aclare las dudas que le surgen al resolver los problemas.

El elemento básico de la evaluación es el examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el Decanato de la Facultad.

Consistirá en:
- algunos problemas de aplicar los métodos estudiados realizando los programas
de los algoritmos elegidos con MATHEMATICA
- algunas cuestiones de carácter teórico-práctico: estudiar propiedades de un
método, comparar métodos, realizar estimaciones de error,...

También se valorará la buena disposición en clase y, especialmente, la
participación activa en la resolución de problemas.

La superación de la asignatura supone haber alcanzado un nivel medio de las
siguientes destrezas:
- Saber programar con MATHEMATICA los algoritmos estudiados a lo largo del
curso. Se valorará en los programas algunas características elementales como
que no realicen más cálculos de los necesarios, ...
- Discutir si un problema de valores iniciales tiene solución única
prolongable en un intervalo.
- Mejorar los resultados de un método de un paso usando extrapolación.
- Acotar y estimar los errores cometidos en un método de un paso.
- Comparar los diferentes métodos teniendo en cuenta resultados y esfuerzo de
cálculo.

Bibliografía básica:
- Elena Medina: Apuntes de la asignatura "Cálculo Numérico". Departamento
de Matemáticas
- P. Henrici: Discrete variable methods in ordinary differential equations.
John Wiley 1962.
- E. Issacson, H.B. Keller: Analysis of Numerical Methods. John Wiley 1966.

Bibliografía complementaria
- C.W. Gear: Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential
Equations. Englewood Cliffs. Prentice-Hall 1971.
- J.M. Ortega, W.G.Poole. Numerical Methods for Differential Equations. Pitman
Publishing Inc: 1981
- G. Birkhoff, G. Rota: Ordinary Differential Equations. John Wiley and Sons.
1978