Enrique Pardo Espino

1. Comprender las nociones de grupo y morfismo de grupo. Ser capaz de manipular
ejemplos concretos.
2. Manipular grupos de permutaciones. Usarlos para representar grupos concretos.
3. Comprender los Teoremas de estructura y clasificación de grupos abelianos
finitamente generados, y utilizarlos para manipular problemas de grupos
abelianos.
4. Entender la noción de acción de un grupo sobre un conjunto. Dominar las
aplicaciones básicas de los Teoremas de Sylow.
5. Comprender la noción de presentación de un grupo. Dominar su uso para
presentar ejemplos sencillos.

1. Grupos y subgrupos:
Definiciones básicas: grupo, subgrupo.
Grupo cíclico. Sistemas de generadores. Prsentaciones de grupos.
Orden de un elemento. Orden de un grupo.

2. Grupos simétricos y diédricos:
Grupos de permutaciones finitos.
Estructura de An.
Grupos diédricos.

3. Particiones:
Teorema de Lagrange.
Subgrupos normales. Grupo cociente.
Simplicidad de An. Teorema de Abel.

4. Morfismos de grupos. Teoremas de Isomorfía:
Definición de morfismo.
Monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo.
Núcleo e imagen. Factorización de un morfismo.
Teoremas de Isomorfía.

5. Grupos abelianos finitamente generados:
Independencia lineal. Generadores y bases.
Teorema de estructura de grupos abelianos finitamente generados.
Teorema de clasificación de grupos abelianos finitamente generados.

6. Acciones de grupos sobre conjuntos. Teoremas de Sylow:
Teorema de Cayley. Generalizaciones.
G-conjuntos.
Ecuación de las órbitas.
Teoremas de Sylow. Aplicaciones.

- Experimentos (con guión), para manipular las nociones básicas antes de
formalizarlas.

- Sesiones de teoría mediante grupos de discusión.

- Sesiones de problemas supervisadas en grupo.

- Trabajo académicamente dirigido a final del temario, destinado a que los
alumnos apliquen los conocimientos adquiridos en el estudio de una familia de
grupos.

El desarrollo del curso se divide en temas. Cada tema teórico se realiza en un
solo bloque, iniciándose con un experimento (mediante guión) en que los alumnos
experimentan las nociones básicas del tema antes de formalizarlas en 4-6 clases
teóricas, más una sesión de síntesis del tema. A continuación se realizan
sesiones de resolución de problemas asistidas por el profesor, en que se conjuga
el trabajo individual y en grupo, que permiten comprender los matices de los
resultados estudiados. Al final del temario se dedican 7 sesiones a un trabajo
académicamente dirigido, en que los alumnos, mediante debates en clase y
consultas bibliográficas asistidas por el profesor, aplican los conocimientos
adquiridos para clasificar salvo isomorfismo los grupos finitos de orden menor o
igual que 15, e investigan las técnicas a desarrollar para extender este trabajo
hasta orden 20.

Nº de Horas (indicar total): 200

• Clases Teóricas: 33  
• Clases Prácticas: 20  
• Exposiciones y Seminarios: 3  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 5  
  • Individules: 0  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado: 7  
  • Sin presencia del profesorado: 0  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 69.5  
  • Preparación de Trabajo Personal: 54.5  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 8  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal): 0  

El procedimiento de evaluación concede al examen teórico-práctico final un 70% de
la calificación. El 30% restante se obtiene mediante:
1. Exámenes de conocimiento y relación de conceptos, que en número de dos o tres
se realizan a lo largo del curso.
2. Exámenes de problemas, consistentes en la entrega de un ejercicio (ajeno a las
relaciones de problemas), en una evaluación que se realizará en la última sesión
de problemas de cada tema.
3. Entrega de otros problemas (de las relaciones) antes de las correspondientes
sesiones de problemas.
4. Entrega de demostraciones escritas a diversas preguntas que se programarán a
lo largo de las sesiones teóricas.
5. Iniciativa y participación en las actividades académicamente dirigidas
(experimentos iniciales de los temas, y síntesis final).

El criterio para evaluar se basa en:
1. Capacidad de resolución de problemas.
2. Conocimiento de la materia y su aplicación a la resolución de problemas.
3. Capacidad de formalización.
4. Participación en las clases teórico-prácticas.
5  Entrega de material.

La superación de la asignatura supone:

A) Haber adquirido los conceptos fundamentales acerca de los contenidos de la
asignatura. y conocer los resultados fundamentales acerca de las relaciones
entre los conceptos matemáticos introducidos. Concretamente:
1. Comprender las nociones de grupo y morfismo de grupo. Ser capaz de manipular
ejemplos concretos.
2. Comprender el uso del álgebra lineal y la aritmética modular para clasificar
grupos abelianos finitamente generados salvo isomorfismo.
3. Manipular grupos de permutaciones. Usarlos para representar grupos concretos.
4. Entender la noción de acción de un grupo sobre un conjunto. Dominar las
aplicaciones básicas de los Teoremas de Sylow.
5. Comprender la noción de presentación de un grupo. Dominar su uso para
presentar ejemplos sencillos.

B) Deberá, además, haber adquirido las siguientes destrezas:

1. Operar con ejemplos elementales de grupos: enteros, enteros módulo n,
simetrías de polígonos. Calcular el núcleo y la imagen de un morfismo.
2. Presentar un grupo abeliano finitamente generado usando una matriz sobre los
enteros. Calcular la PAQ-reducción de una matriz rectangular a coeficientes
enteros.
3. Operar con permutaciones de un conjunto. Descomponer una permutación en
ciclos y transposiciones. Calcular el índice de una permutación.
4. Calcular las órbitas y los estabilizadores de una acción.
5. Conocer los procedimientos estándar de uso de los Teoremas de Sylow.
6. Interpretar qué significa una presentación de un grupo en términos de
generadores y relaciones. Ser capaces de dar presentaciones de grupos en
casos elementales.

M. A. Amstrong, "Groups and symmetry", UTM, Springer, 1988.
P. M. Cohn, "Algebra", vol 1, John Wiley 1973.
P. Dubreil, "Teoría de Grupos", Reverté, 1975.
M.A. Moreno, E. Pardo, "Teoría de grupos", Textos básicos universitarios,
Servicio de Publicaciones de la UCA, 2002.
J. J. Rotman, "An introduction to the theory of groups", GTM 148, Springer, 1994.

M. Suzuki, "Group theory", vol 1, SCSM, Springer, 1983.