Maria Jose Gonzalez Fuentes

- Conocer el concepto de medida positiva y sus principales propiedades.
- Construcción de una medida a partir de una medida exterior.
- Conocer los ejemplos más importantes de medidas positivas.
- Construcción de la integral de funciones simples.
- Integración de funciones reales o complejas.
- Conocer y saber utilizar los principales teoremas de convergencia.
- Conocer las propiedades básicas de las medidas signadas y complejas.
- Conocer el teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym y sus aplicaciones.
- Conocer las desigualdades de Hölder y Minkowski.
- Principales propiedades de los espacios de Lebesgue.
- Introducción a la dualidad en los espacios de Lebesgue.
- Conocer el teorema de representación de Riesz y sus aplicaciones.

Programa

1.- Medidas Positivas

El concepto de sigma -álgebra.
Construcción de sigma -álgebras no triviales
Funciones medibles.
Funciones simples
Medidas Positivas
Construcción de medidas: medida exterior}
Completación de un espacio de medida
Ejercicios

2.- Integración respecto de una medida.

Integración de funciones simples
La integral de una función medible
La integral de Funciones con valores reales
Integración de funciones con valores complejos.
Ejercicios

3.- Medidas signadas y complejas

Conceptos fundamentales.
Medidas signadas y complejas.
La variación total de una medida.
La variación total de una medida signada
La variación total de una medida compleja.
Continuidad absoluta de medidas
Singularidad de medidas
Espacios de medidas.
Ejercicios

4.- Espacios de Lebesque

Definición de los espacios de Lebesgue.
Las desigualdades de Hölder y de Minkowski.
Completitud de los espacios de Lebesgue.
Dualidad entre los espacios de Lebesgue.
Medidas finitamente aditivas de variación acotada.
El Teorema de Representación de Riesz
Ejercicios.

- Explicación de la teoría.
- Resolución de problemas por parte del profesor.
- Resolución y exposicion de problemas y posibles temas teoricos por parte del
alumno.Asímismo se potenciará la asistencia y la regular comprensión de los
resultados,proponiendo periódicamente problemas que el estudiante debe
resolver
en la horas de clase, y que puntuarán en la evaluación.

A los estudiantes que asistan a las horas de clase regularmente se les
valorará la puntuación obtenida en controles parciales, la resolución periódica
de cuestiones planteadas durante la clase, la exposición oral de temas y la
entrega periódica de problemas.
. Si un estudiante no está de acuerdo con la puntuación obtenida, o con este
sistema de evaluación, podrá optar a examen en la fecha establecida por la
Facultad de Ciencias.

Bibliografía básica:
Análisis Real y Complejo.
W. Rudin.
Alhambra.

Bibliografía Complementaria:
Measure Theory
D. L. Cohn
Birkhäuser (1980).

Teoría de la Medida.
Juan Luis Romero Romero.
Apuntes. Copistería Facultad de Ciencias.

Measure Theory
P.R. Halmos
Springer(1974).