María Angeles Moreno Frías

Tema 1: Conceptos básicos de anillos y módulos.
Repaso de conceptos básicos.
Extensión y contracción de ideales.
Propiedades de módulos finitamente generados. Lema de Nakayama.
Espectro primo de un anillo. Topología de Zariski.

Tema 2: Localización.
Subconjuntos multiplicativamente cerrados. Localización de anillos.
Extensión y contracción de ideales en anillos localizados.
Localización de módulos.

Tema 3: Dependencia entera
Caracterización de la dependencia entera.
Extensión y contracción de ideales.
Teorema del Ascenso. Teorema del Descenso.

Tema 4: Condiciones de cadena.
Repaso de conceptos básicos. Condiciones de cadena en anillos y módulos.

Tema 5: Anillos Noetherianos
Propiedades básicas. Teorema de la base de Hilbert.
Anillos de polinomios. Teorema de los Ceros de Hilbert. Lema de Normalización.
Descomposición primaria en módulos noetherianos.

Tema 6: Anillos Artinianos
Conceptos básicos.
Teorema de estructura de anillos artinianos.

Tema 7: Teoría de la dimensión
Definición.
Funciones de Hilbert.
Caracterización en anillos locales artinianos.

Tema 8: Anillos regulares
Definición.
Caracterización homológica de la dimensión.

El elemento básico de la evaluación es el Examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el Decanato de la Facultad.
Consiste en una prueba escrita con una duración de 4 horas y en la que el
alumno
deberá demostrar su habilidad en la resolución de problemas, evaluándose su
capacidad para enfrentrarse a situaciones ya conocidas (problemas
propuestos en clase) y a otras situaciones nuevas.

La superación de la asignatura supone

Haber adquirido los conceptos fundamentales acerca de los contenidos de la
asignatura. y conocer los resultados fundamentales acerca de las
relaciones entre los conceptos matemáticos introducidos. Concretamente:
1. Comprender los módulos sobre anillos conmutativos, así como de sus
morfismos.
Tener un dominio de los ejemplos concretos, especialmente de
los
cocientes de anillos de polinomios sobre un nº finito de variables.
2. Conocer la noción de conjunto submultiplicativo, y dominar los casos
estándar. Entender la relación con el estudio local de una variedad. Dominar
la
extensión y contracción de ideales en una localización.
3. Entender la noción de extensión entera. Dominar los ejemplos básicos.
Conocer
los teoremas de ascenso y descenso. Comprender el uso del Lema
de Normalización y el Teorema de los ceros.
4. Entender la noción de condición de cadena en un conjunto ordenado, y
comprender su asimetría. Conocer el Teorema de estructura de anillos
artinianos. Comprender el Teorema de la base de Hilbert.
5. Entender la noción de dimensión de Krull de un anillo, y su relación con la
dimensión de una variedad. Aprender técnicas de cálculo, y aplicarlas a
casos elementales. Dominar el cálculos en el caso noetheriano local.
6. Comprender la noción de regularidad en el caso local y su relación con la
noción de punto regular de una variedad. Comprender la noción de
regularidad global.


Deberá, además, haber adquirido las siguientes destrezas:


1. Determinar la topología de Zariski de un anillo cociente de un anillo de
polinomios.
2. Dar una presentación de una localización prima de un anillo. Calcular el
espectro primo de un anillo localizado.
3. Conocer ejemplos de anillos y módulos noetherianos/artinianos. Diferenciar
ambos tipos.
4. Calcular la dimensión de Krull en casos elementales, así como en sus
localizaciones primas y extensiones enteras.
5. Calcular la serie de Poincaré y el polinomio de Hilbert para ejemplos
concretos de anillos noetherianos. Calcular la dimensión de Krull de anillos
noetherianos locales