Francisco Ortegón Gallego

Clasificar los puntos de equilibrio de sistemas de ecuaciones diferenciales,
ordinarias y lineales. Analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio por
diversos procedimientos. Analizar la existencia o no de soluciones periódicas
para sistemas de dos ecuaciones diferenciales.
Conocer el concepto de ecuación en derivadas parciales y reconocer en algunos
casos su origen y utilidad.
Aplicar alguna técnica de resolución para ciertos problemas gobernados por
ecuaciones en derivadas parciales.
Clasificar una ecuación en derivadas parciales, lineal y de segundo orden.
Distinguir cuáles son las condiciones iniciales y/o de contorno necesarias
para que un problema de este tipo esté bien planteado.
Interpretar la expresión de las soluciones de las ecuaciones del calor, de
ondas y de Poisson.

Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias:
Estabilidad según Liapunov. Puntos de equilibrio.
Clasificación de los puntos de equilibrio de los sistemas autónomos de dos
ecuaciones. Estabilidad en los sistemas no lineales. Función de Liapunov.
Estabilidad por linealización. El teorema de Poincaré. El teorema de
Hartman-Grossman Soluciones periódicas: ciclos y ciclos límites.
Los teoremas de Poincaré, Bendixson y de Poincaré-Bendixson.

Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales:
La noción de ecuación en derivadas parciales. Orden de una ecuación en
derivadas parciales. Ejemplos: la ecuación de transporte, la ecuación de Euler,
las ecuaciones del calor y de ondas, la ecuación de Laplace.

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden:
Origen de las ecuaciones de primer orden. Clasificación de las ecuaciones de
primer orden. Tipos de soluciones: integral completa, integral general,
integral singular, integral especial. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de
Pfaff.
Factor integrante. Sistemas compatibles y método de Charpit. El problema de
Cauchy.

Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden:
Ecuaciones de segundo orden con dos variables independientes. Formas
canónicas.
Curvas características. Clasificación. Ecuaciones con coeficientes constantes.

Las ecuación de ondas:
La ecuación de ondas en dimensión uno. Fórmula de d'Alembert. La ecuación de
ondas en dimensión tres. La ecuación de ondas en dimensión dos. Método de
descenso de Hadamard. El principio de Huygens. El problema de la cuerda
vibrante. El método de separación de variables.

La ecuación del calor:
Solución fundamental de la ecuación del calor.
Principio del máximo. Unicidad de solución.

Las ecuaciones de Laplace y Poisson:
Identidades de Green. Solución fundamental. La función de Green. El problema
de Dirichlet para el laplaciano. Fórmula integral de Poisson. Propiedades de
las funciones armónicas. Principios del máximo débil y fuerte. El problema de
Dirichlet para la ecuación de Poisson. Potencial newtoniano.

El enfoque variacional:
Formulación variacional de la ecuación de Poisson.
Los espacios de Sobolev H^1 y H^1_0. El teorema de Lax-Milgram.
Resolución de problemas elípticos más generales.

La asignatura se imparte mediante la técnica de las clases magistrales.
También se podrá hacer uso de medios audiovisuales, como el cañón de video.

El elemento básico de la evaluación es el examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el decanato de la facultad. Consiste en
una prueba escrita con una duración aproximada de tres horas o tres horas y
media, y en la que el alumno deberá resolver varios problemas propuestos.
Habitualmente, los problemas estarán divididos en apartados. Se podrá
preguntar un resultado demostrado en clase, o una situación nueva en la que el
alumno deberá mostrar su grado de destreza y conocimientos adquiridos.

Por otro lado, la participación activa del alumno también se tendrá en cuenta
en su evaluación final. Esta participación puede darse de varias formas:
intervención en clase, desarrollo de algún tema de ampliación, etc.

Bibliografía básica

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