Mª Concepción Muriel Patino

Concepto y manejo de diferentes representaciones para los conceptos de
variedad diferenciable y de variedad con pseudo-borde.
Comprender y manejar el concepto de orientación y de orientación inducida en
términos de diferentes caracterizaciones. Saber determinar parametrizaciones
compatibles con la orientación o/y orientación inducida.
Conocer la teoria de campos vectoriales y escalares y de formas diferenciales
y sus relaciones.
Comprender y saber aplicar el teorema de Stokes y sus versiones clásicas y sus
derivaciones y aplicaciones más importantes.

Tema 1. Variedades en espacios de dimensión finita.


Representación implícita de variedades.
Representación explícita de variedades.
Variedades diferenciables y difeomorfismos locales.
Representación paramétrica de variedades.
Espacio tangente a una variedad.
Caracterizaciones de una variedad diferenciable.
Representaciones paramétricas y difeomorfismos

Tema 2. Variedades con borde y pseudo-borde.


Aplicaciones entre abiertos de semiespacios.
Variedades con borde y pseudo-borde.
Representación difeomórfica de las variedades con pseudo-borde.
Representación paramétrica de las variedades con pseudo-borde.
Representación explícita de las variedades con pseudo-borde.
Formulaciones equivalentes del concepto de variedad con pseudo-borde.
Espacio tangente a una variedad con pseudo-borde.


Tema 3. Formas multilineales. Orientación en espacios vectoriales.



Formas multilineales antisimétricas.
Orientación en espacios de dimensión finita.
Volúmenes de paralelepípedos.
La operación * de Hodge y el producto vectorial.


Tema 4. Formas diferenciales. Orientación en variedades diferenciables.



Formas diferenciales.
Diferenciación exterior de formas diferenciales.
Primitivas de formas diferenciales.
Orientación de variedades diferenciables.
Caracterizaciones de variedades
orientables.                                      Orientación de
hipersuperficies.
Orientación inducida.

Tema 5. Integración en variedades diferenciables.


Medidas locales en variedades diferenciales.
Estudio de algunos casos particulares.
Medidas e integración globales en variedades orientadas.
Teorema de Stokes.
Los teoremas clásicos del análisis vectorial.

Clases participativas intercalando la trasmisión de contenidos teóricos con
ejemplos ilustrativos.
Uso de medios audiovisuales para ilustrar aspectos concretos de la materia.
Durante las clases de problemas
se fomentara especialmente el trabajo personal del alumno (individual y en
grupos) y la discusión de métodos y
resultados.

El elemento básico de la evaluación es el Examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el Decanato de la Facultad. Consiste en
una prueba escrita con una duración aproximada de 3 horas y media o 4 horas.
Una parte del examen consta de diversas cuestiones teóricas, en las que se
evaluará el conocimiento del alumno sobre los resultados teóricos
desarrollados a lo largo de la asignatura y su nivel de comprensión. Además el
alumno tendrá que resolver una serie de problemas en el que se evaluará la
capacidad del alumno para enfrentrarse a situaciones ya conocidas (problemas
similares a los realizados en clase) y a otras situaciones nuevas.

Se  valorará la participación activa en la resolución de problemas durante las
clases y la  elaboración cuidada y razonada de los examénes.

Bibliografía básica
Juan Luis Romero Romero, Francisco Benítez y Concepción Muriel. Análisis
Vectorial. Dpto.  de Matemáticas, Univ. de Cádiz, 2004.


Bibliografía adicional
Jänich, K. Vector Analysis. Springer-Verlag, 2001.

Spivak, M. Cálculo en Variedades. Reverté, 1970.

H. Cartan. Formas Diferenciales.  Omega, 1972.

Marsden, J. E. y A. J. Tromba. Cálculo Vectorial. Addinson-Wesley
Iberoamericana, 1991.

Fernández Viña, J. A. y E. Sánchez Mañes. Ejercicios y complementos de
Análisis Matemático III. Tecnos, 1994.