Enrique Pardo Espino

1. Comprender la noción de anillo, ideal y cociente, así como la de morfismo de
anillo. Dominar los ejemplos elementales.
2. Conocer las clases distinguidas de dominios.
3. Comprender las operaciones con polinomios y las diferencias entre el caso de
que el anillo de coeficientes sea dominio y el caso general.
4. Entender la noción de condición de cadena para un conjunto ordenado.
5. Conocer las propiedades básicas de los anillos notherianos.
6. Conocer y comprender el Teorema de Estructura de anillos artinianos.

1. Nociones básicas:
Anillos y subanillos.
Ideales y anillos cocientes.
Operaciones con ideales.
Morfismos de anillos.
Elementos e ideales especiales.
Cuerpo de fracciones de un dominio.
Ideales radicales. Ideales comaximales.

2. Dominios de integridad:
Divisibilidad en dominios.
Dominios euclídeos.
Dominios de ideales principales.
Dominios de factorización única.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Anillos de polinomios.
Factorización de polinomios.
Teorema fundamental del álgebra.
Irreducibilidad de polinomios.
Criterios en característica cero.
Criterios en característica positiva.

3. Condiciones de cadena:
Breve introducción a módulos.
Condiciones acc y dcc.
Anillos noetherianos. Teorema de la Base de Hilbert.
Anillos artinianos. Teorema de Estructura.

Las clases teóricas consistirán en una exposición organizada de los contenidos
por temas. El profesor intentará recabar la colaboración activa del alumno con
preguntas y propuestas para pensar.

Las clases prácticas consistirán en trabajo individual o en grupo de los alumnos,
con objeto de resolver los problemas de las relaciones entregadas por el
profesor.
Durante las mismas se incentiva el uso de material bibliográfico adicional. El
profesor supervisa el trabajo individual y/o colectivo, haciendo propuestas o
sugerencias a las preguntas de los alumnos.

El elemento básico de la evaluación es el Examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el Decanato de la Facultad. Consiste
en una prueba escrita con una duración de 4 horas y en la que el alumno
deberá demostrar su habilidad en la resolución de problemas, evaluándose
su capacidad para enfrentrarse a situaciones ya conocidas (problemas
propuestos en clase) y a otras situaciones nuevas. Habitualmente, consta de
cuatro problemas.

La superación de la asignatura supone:

A) Haber adquirido los conceptos fundamentales acerca de los contenidos de la
asignatura. y conocer los resultados fundamentales acerca de las relaciones
entre los conceptos matemáticos introducidos. Concretamente:
1. Comprender la noción de anillo, ideal y cociente, así como la de morfismo
de anillo. Dominar los ejemplos elementales.
2. Conocer las clases distinguidas de dominios.
3. Comprender las operaciones con polinomios y las diferencias entre el caso
de que el anillo de coeficientes sea dominio y el caso general.
4. Entender las condiciones de cadena. Conocer ejemplos distintivos.
5. Conocer las propiedades básicas de los anillos neotherianos.
6. Comprender el Teorema de la Base de Hilbert y sus aplicaciones.
7. Distinguir entre anillos noetherianos y artinianos.
8. Comprender el Teorema de Estructura de anillos artinianos.

B) Deberá, además, haber adquirido las siguientes destrezas:

1. Operar con ejemplos elementales de anillos: enteros, enteros módulo n,
anillos de polinomios, y cocientes de todos ellos. Calcular el núcleo y la
imagen de un morfismo.
2. Calcular de manera efectiva el máximo común divisor y la identidad de Bézout
en dominios euclídeos.
3. Conocer los criterios de Einsenstein y Berlekamp, y aplicarlos determinar
la irreducibilidad de polinomios de 1 y 2 variables.
4. Decidir si un anillo es noetheriano, en casos sencillos.
5. Decidir si un anillo noetheriano es artiniano, en casos sencillos.
6. Encontrar la descomposición de un anillo artiniano en producto de artinianos
locales, en ejemplos sencillos.

P. M. Cohn, "Algebra", vol 1 y 2, John Wiley, 1973.
S. Lang, "Algebra", Aguilar, 1971.
T. W. Hungerford, "Algebra", GTM 73, Springer, 1974.
Bujalance, Etayo, Gamboa, “Anillos y Cuerpos”, Manuales de la UNED.
M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, "Introducción al Algebra Conmutativa", Ed.
Reverté, 1980.
T. Sánchez Giralda, "Algebra conmutativa y homológica I", Publ. Universidad de
Valladolid, 1996.