Elena Medina Reus

Aprender a describir algunos fenómenos sencillos en Ciencias Experimentales
mediante ecuaciones diferenciales, sistemas de ecuaciones diferenciales y
ecuaciones en diferencias.

Proporcionar técnicas para poder analizar el modelo e interpretar
los resultados: soluciones exactas o aproximadas, comportamiento asintótico
de soluciones, propiedades de las soluciones en función de parámetros que
aparecen en el modelo, etc.

Aprender a interpretar los resultados metemáticos obtenidos para el modelo, en
términos de propiedades del sistema, en la ciencia experimental en la que ha
sido formulado el modelo.

1. El concepto de modelo matemático
Concepto de modelo matemático. Aplicaciones de los modelos.
Algunos modelos sencillos: movimiento vibratorio, circuitos eléctricos,
radioactividad, cinética de reacciones químicas..

2. Sistemas dinámicos
Ecuaciones diferenciales autónomas: soluciones de equilibrio, estabilidad,
comportamiento asintótico de las  soluciones.
Bifurcaciones en sistemas unidimensionales.
Sistemas dinámicos planos: aproximación lineal, el teorema de Hartman-
Grossman.
Ciclos límite: el teorema de Poincaré-Bendixon.
Bifurcaciones en sistemas dinámicos planos.

3. Modelos unidimensionales en dinámica de poblaciones
El modelos malthusiano y el modelo logístico
Modelos compensatorios, despensatorios y despensatorios críticos.
El modelo de Ludwig.
Explotación de recursos naturales. El problema del riego de extinción.

4. Modelos discretos unidimensionales en dinámica de poblaciones
Motivación del uso de modelos discretos. El caso lineal
El caso no lineal: determinación de soluciones de equilibrio, estabilidad.
Análisis del modelo logístico discreto: punto de equilibrio estable,
bifurcación,
soluciones periódicas, duplicación del periodo,
dinámica caótica y nueva aparición de soluciones periódicas.


5. Modelos bidimensionales en dinámica de poblaciones
Modelos depredador-presa: el modelo de Lotka-Volterra y modelos más generales.
Modelos de competición de especies (el principio de exclusión competitiva).
Modelos de simbiosis.

6. Sistemas mecánicos conservativos
Función potencial y energía.
Teorema de conservación de la energía. Trazado de las órbitas.
Potenciales genéricos.
Bifurcaciones en sistemas conservativos.

7. Oscilaciones autosostenidas en física no lineal
Sistemas disipativos, Concepto de atractor global.
El oscilador de van der Pol: existencia de ciclo límite estable,
interpretación, caracter disipativo del modelo. Determinación aproximada del
ciclo límite para valores pequeños del parámetro.

8. Fenómenos de difusión
Dedución de la ecuación de difusión.
Soluciones elementales para el caso de coeficiente de difusividad constante:
soluciones de fuente instantánea y  soluciones de fuente continua.
Coeficiente de difusividad dependiente de la concentración. Soluciones con
soporte compacto.
Ecuaciones de reacción-difusión.
La ecuación de Fisher. Frentes de onda. Determinación aproximada de la
solución.  Ecuaciones de reacción difusión con condiciones de contorno
homogéneas.
Ecuaciones de difusión o reacción-difusión con término de convección.

Se realizarán simulaciones con el programa Mathematica para poner de
manifiesto los resultados de algunos de los modelos abordados en las clases
teóricas.

Se propondrá a los alumnos el estudio de algunos modelos diferentes, tanto
desde el punto de vista teórico, como desde un punto de vista práctico,
realizando simulaciones con el Mathematica. Estos problemas los podrá abordar
el alumno en las clases prácticas, contando con la asistencia de profesor para
resolver las dudas que se vayan presentando.

Clases teóricas impartidas por el profesor.

Clases prácticas en las que se motiva al alumno a que aborde los problemas por
sí mismo, haciendo uso del ordenador,
y consulte y aclare las dudas que le surgen al resolver los problemas.

El 60% de la nota corresponderá al Examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el Decanato de la Facultad. Consiste en
una prueba escrita de carácter práctico en la que se proponen cuestiones del
tipo de las abordadas en clase. Algunos ejemplos al respecto serían:
- Adimensionalización de un modelo
- Interpretación de cada uno de los términos que aparecen en el modelo desde
el punto de vista de la ciencia experimenta en la que tienen aplicación.
- Análisis elemental de algunos modelos. Puntos de equilibrio, clasificación,
estabilidad, cuál se espera que sea el comportamiento asintótico, y como
puede interpretarse.
- Análisis de bifurcaciones,...
El 40% restante se obtendrá de la evaluación de algunos problemas
propuestos al alumno que contendrán una parte de discusión teórico-práctica y
una parte práctica para abordar mediante el uso del programa MATHEMATICA.
Para poder aprobar la asignatura será un requisito que en cada parte se
obtenga al menos 1/3 de la nota máxima

Bibliografía básica
- J.L. Romero Romero, C. García Vázquez: Modelos y Sistemas Dinámicos.
Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz. 1998.
- J.K. Hale, H. Koçak: Dynamics and Bifurcation. Springer-Verlag. 1991.
- J.D. Murray: Mathematical Biology. Springer-Verlag 1898.

Bibliografía complementaria:
- L. Perko: Differential Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag.
1991.
- R.B. Banks: Growth and Difusión Phenomena. Mathematical Frame Works and
Applications. Springer-Verlag 1994.