Enrique Pardo Espino

1. Comprender la noción de anillo, ideal y cociente, así como la de morfismo de
anillo. Dominar los ejemplos elementales.
2. Conocer las clases distinguidas de dominios.
3. Comprender las operaciones con polinomios y las diferencias entre el caso de
que el anillo de coeficientes sea dominio y el caso general.
4. Entender la noción de condición de cadena para un conjunto ordenado.
5. Conocer las propiedades básicas de los anillos notherianos.
6. Conocer y comprender el Teorema de Estructura de anillos artinianos.

1. Nociones básicas:
Anillos y subanillos.
Ideales y anillos cocientes.
Operaciones con ideales.
Morfismos de anillos.
Elementos e ideales especiales.
Cuerpo de fracciones de un dominio.
Ideales radicales. Ideales comaximales.

2. Dominios de integridad:
Divisibilidad en dominios.
Dominios euclídeos.
Dominios de ideales principales.
Dominios de factorización única.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Anillos de polinomios.
Factorización de polinomios.
Teorema fundamental del álgebra.
Irreducibilidad de polinomios.
Criterios en característica cero.
Criterios en característica positiva.

3. Condiciones de cadena:
Breve introducción a módulos.
Condiciones acc y dcc.
Anillos noetherianos. Teorema de la Base de Hilbert.
Anillos artinianos. Teorema de Estructura.

- Sesiones de teoría mediante grupos de discusión.
- Sesiones de problemas supervisadas en grupo.

El desarrollo del curso se divide en temas. Cada tema teórico se realiza en un
solo bloque, iniciándose con un análisis previo (mediante guión) en que los
alumnos se familiarizan con los items básicos del tema antes de formalizarlos en
clases teóricas, más una sesión de síntesis del tema; el profesor intentará
recabar la colaboración activa del alumno con
preguntas y propuestas para pensar. A continuación se realizan
sesiones de resolución de problemas asistidas por el profesor, en que se conjuga
el trabajo individual y en grupo, que permiten comprender los matices de los
resultados estudiados. Durante las mismas se incentiva el uso de material
bibliográfico adicional. El profesor supervisa el trabajo individual y/o
colectivo, haciendo propuestas o sugerencias a las preguntas de los alumnos.
Al final de cada tema (salvo el último) se realizará una Actividad Académicamente
Dirigida, consistente en el análisis de un tema práctico relacionado con el
contenido del tema estudiado.

Nº de Horas (indicar total): 160

• Clases Teóricas: 30  
• Clases Prácticas: 18  
• Exposiciones y Seminarios: 0  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 3  
  • Individules: 0  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado: 2  
  • Sin presencia del profesorado: 0  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 62.5  
  • Preparación de Trabajo Personal: 37.5  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 5  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal): 3  

El procedimiento de evaluación concede al examen teórico-práctico final un 70% de
la calificación. El 30% restante se obtiene mediante:
1. Exámenes de problemas, consistentes en la entrega de un ejercicio (ajeno a las
relaciones de problemas), en una evaluación que se realizará de manera aleatoria
3-4 veces en el curso.
2. Entrega de otros problemas (de las relaciones) antes de las correspondientes
sesiones de problemas.
3. Entrega de demostraciones escritas a diversas preguntas que se programarán a
lo largo de las sesiones teóricas.
4. Iniciativa y participación en las clases y actividades académicamente
dirigidas.

El criterio para evaluar se basa en:
1. Capacidad de resolución de problemas.
2. Conocimiento de la materia y su aplicación a la resolución de problemas.
3. Capacidad de formalización.
4. Participación en las clases teórico-prácticas.
5  Entrega de material.


La superación de la asignatura supone:

A) Haber adquirido los conceptos fundamentales acerca de los contenidos de la
asignatura. y conocer los resultados fundamentales acerca de las relaciones
entre los conceptos matemáticos introducidos. Concretamente:
1. Comprender la noción de anillo, ideal y cociente, así como la de morfismo
de anillo. Dominar los ejemplos elementales.
2. Conocer las clases distinguidas de dominios.
3. Comprender las operaciones con polinomios y las diferencias entre el caso
de que el anillo de coeficientes sea dominio y el caso general.
4. Entender las condiciones de cadena. Conocer ejemplos distintivos.
5. Conocer las propiedades básicas de los anillos neotherianos.
6. Comprender el Teorema de la Base de Hilbert y sus aplicaciones.
7. Distinguir entre anillos noetherianos y artinianos.
8. Comprender el Teorema de Estructura de anillos artinianos.

B) Deberá, además, haber adquirido las siguientes destrezas:

1. Operar con ejemplos elementales de anillos: enteros, enteros módulo n,
anillos de polinomios, y cocientes de todos ellos. Calcular el núcleo y la
imagen de un morfismo.
2. Calcular de manera efectiva el máximo común divisor y la identidad de Bézout
en dominios euclídeos.
3. Conocer los criterios de Einsenstein y Berlekamp, y aplicarlos determinar
la irreducibilidad de polinomios de 1 y 2 variables.
4. Decidir si un anillo es noetheriano, en casos sencillos.
5. Decidir si un anillo noetheriano es artiniano, en casos sencillos.
6. Encontrar la descomposición de un anillo artiniano en producto de artinianos
locales, en ejemplos sencillos.

P. M. Cohn, "Algebra", vol 1 y 2, John Wiley, 1973.
S. Lang, "Algebra", Aguilar, 1971.
T. W. Hungerford, "Algebra", GTM 73, Springer, 1974.
Bujalance, Etayo, Gamboa, “Anillos y Cuerpos”, Manuales de la UNED.
M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, "Introducción al Algebra Conmutativa", Ed.
Reverté, 1980.
T. Sánchez Giralda, "Algebra conmutativa y homológica I", Publ. Universidad de
Valladolid, 1996.