José Ramírez Labrador

Pretendemos que el alumno conozca y utilice las propiedades básicas de las
funciones analíticas. Conocer la representación de una funciona entera a
partir de sus ceros o de una función meromorfa a partir de sus partes singulares
es extremadamente útil. El teorema de Riemann permite reducir el estudio de
soluciones de la ecuación de Laplace en muchas regiones al disco unidad.
Comprender la prolongación analítica y el principio de permanencia de
relaciones funcionales permite extender resultados parciales a regiones
mayores y es básico en ecuaciones diferenciales. Para facilitar la comprensión y
la creatividad dedicaremos aproximadamente un crédito a laboratorio de
matemáticas para que los alumnos visualicen transformaciones conformes y
funciones multiformes a través del ordenador.

Destrezas a adquirir: Utilización de las propiedades locales de las funciones
analíticas (T de aplicación local, P del Argumento). Manejo elemental de H
(\Omega) y M(\Omega). Utilización de transformaciones conformes y manejo de
las transformaciones conformes elementales. Utilización de funciones
multiformes,
familiaridad con la prolongación analítica. Capacidad de representar funciones
analíticas o meromorfas a partir de sus ceros o polos. Manejo del programa
Mathematica para visualizar propiedades de las funciones complejas.

Principio del argumento, T de Rouche Propiedades locales de las funciones
analíticas.
Espacios de funciones analíticas y meromorfas, familias normales. Lema de
Ascoli ­Arzela. Teorema de Montel.
-   Aplicaciones conformes. Teorema de Riemann de representación conforme.
Principio de simetría. Fórmula de Schwarz-Christoffel. Ejemplos y aplicaciones.
-   Prolongación analítica a lo largo de curvas, teorema de monodromía.
-   Ceros de funciones analíticas, productos infinitos, teorema de
Weierstrass.

Explicación de la teoría.
Resolución de problemas por parte del profesor.
Resolución de problemas por parte del alumno.
Practicas con el programa Mathematica

Para poder superar la asignatura, el alumno deberá superar el Examen de la
asignatura, en la convocatoria oficial establecida por el Decanato de la
Facultad. Es imprescindible realizar las prácticas de ordenador.   Este examen
consiste en una prueba escrita, con una duración inferior a 4 horas,  en la
que el alumno deberá responder a un cuestionario de preguntas  con dos tipos de
contenidos:
1.- el primero se refiere a cuestiones teóricas, sobre conceptos y
resultados  básicos de la asignatura, en el que se evaluará el conocimiento
del
alumno sobre enunciados, partes de demostraciones  y su nivel de comprensión;
2.- el segundo se refiere a la resolución de problemas en el que se
evaluará la capacidad del alumno para enfrentarse a situaciones ya conocidas
(problemas similares a los realizados en  clase) y a otras situaciones nuevas.
Para el ajuste preciso de la nota final, se valorará la buena disposición en
clase y, especialmente, la participación activa en la resolución de problemas.
La superación de la asignatura supone que el alumno haya alcanzado la mayor
parte de los objetivos señalados para esta asignatura.

Bibliografía básica

Conway J.B. Functions of one complex variable 2ª ed. Springer Verlag 1979

Hille E. Analytic function theory (2 vol.) Chelsea 1977

Sidorov Y.V. Fedoryuk M.V. Shabunin M.l. Lectures on the theory of functions
of
a complex variable Mir 1985

Bibliografía complementaria

Ahlfors L.V. Complex Analysis 3ª ed. McGraw-Hill 1979

Markushevích A.I. Teoría de las funciones analíticas (2 vol.) Mir 1970

Nevanlinna R. Paatero V. Introduction to complex analysis Addison-Wesley 1969

Volkovyski L. Lunts G. Aramanovich I. Problemas sobre la teoría de variable
compleja, Mir 1972