Diego Roldán Malo. Manuel Forero Piulestan

El objetivo fundamental de esta asignatura es dar una visión general de algunos
aspectos de la Teoría de Ecuaciones Diferenciales y de los operadores
diferenciales e integrales, que son de gran aplicación en las asignaturas
científico-técnicas que constituyen estos estudios, y proporcionar el soporte
necesario para mejor comprender y superar estas disciplinas.
Al mismo nivel de importancia podemos situar el aspecto formativo de esta
asignatura, dentro del cual insistiremos en la estructuración formal y lógica
de los razonamientos. Potenciar la capacidad de abstracción, rigor, análisis y
síntesis que son propias de las matemáticas y necesarias para cualquier otra
disciplina científica.

Tema 1.-Introducción a la variable compleja.
1.1. Números complejos.Repaso de operaciones con números complejos.
1.2. Funciones complejas de variable compleja.
1.3. Estudio de algunas funciones complejas elementales.

Tema 2.-Introducción a las ecuaciones diferenciales.
2.1. Definiciones, conceptos fundamentales y notaciones.
2.2 Soluciones. Tipo de soluciones.
2.3 Clasificación de las ecuaciones diferenciales.
2.4 Origen y aplicación de las ecuaciones diferenciales.
2.5 Nociones generales sobre los problemas de de existencia y unicidad de las
soluciones.

Tema 3.- Ecuaciones diferenciales de primer orden.
3.1. Teoremas de existencia y unicidad de soluciones.
3.2.Interpretación geométrica de la ecuación y'=f(x,y)[PRÁCTICAS]
3.3. Ecuaciones diferenciales con variables separadas y reducibles a ellas.
3.4. Ecuaciones homogéneas y reducibles a ellas.
3.5. Ecuaciones lineales. Reducibles a lineales. Ecuación de Bernouilli y de
Ricatti.
3.6. Trayectorias ortogonales, e isogonales y otras aplicaciones geométricas y
científicas[PRÁCTICAS]

Tema 4.- Ecuaciones lineales de orden superior.
4.1. Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales  de orden superior.
4.2. Ecuación lineal homogénea. Tratamiento vectorial del conjunto de
soluciones. Reducción del orden.
4.3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Resolución.
4.4. E. D. O. lineal completa. Resolución: Método de variación de constantes y
método de los coeficientes indeterminados.
4.5. E. D. O. lineales con coeficientes variables: Ecuaciones de Euler.
4.6.  Otros cambios de variable e ecuaciones lineales con coeficientes
variables.

Tema 5.- Transformada de Laplace.
5.1. Introducción.
5.2. Definición. Cálculo de transformadas de funciones elementales.
5.3. Propiedades. Producto de convolución. Transformada de Laplace de producto
de convolución.
5.4. Transformada inversa. Propiedades.
5.5. Aplicación de la transformada a la resolución de ecuaciones diferenciales
e integrales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Tema 6.- Soluciones en series de potencias.
6.1. Introducción a las series de potencias.-
6.2. Soluciones de ecuaciones de primer orden mediante series.-
6.2. Soluciones de ecuaciones lineales de segundo orden en puntos ordinarios.-
6.3. Puntos singulares regulares: Método de Frobenius.-
6.4. Funciones especiales.

Tema 7.- Series de Fourier.
7.1. Polinomios trigonométricos ortogonales: Definición y propiedades.
7.2. Desarrollo de funciones en series de Fourier. [PRÁCTICAS]
7.3. Aplicaciones.

Esta asignatura de 4.5 créditos está estructurada como una
asignatura cuatrimestral con 3 horas semanales, de las cuales 2
serán de desarrollos teórico-prácticos y la otra para prácticas,
bien de problemas o de ordenador. El desarrollo de las clases se
inicia, siempre que sea posible, con una motivación adecuada del
tema y con la exposición teórica necesaria e imprescindible para
abordar el tratamiento de problemas y ejercicios de aplicación, a
los que se concederá especial importancia en el desarrollo de la
asignatura. En las clases prácticas se utilizará el ordenador,
cuando sea posible, como herramienta que nos permita afianzar
conceptos y utilizar algunos algoritmos.

Nº de Horas (indicar total): 87.5

• Clases Teóricas: 14  
• Clases Prácticas: 16  
• Exposiciones y Seminarios:  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 3  
  • Individules:  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado: 12  
  • Sin presencia del profesorado:  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 32.5  
  • Preparación de Trabajo Personal: 6  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 3  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal): 1  

Técnicas:
•Control periódico de las hojas  de  problemas resueltas en clase
•Exposición en la pizarra de problemas propuestos y no resueltos en clase.
•Control de asistencia a clases de teoría, de problemas y de ordenador
•Control de asistencia a tutorías colectivas
•Examen de cuestiones teórico-prácticas y de problemas
Examen de los trabajos realizados en aula de ordenadores

Sistemas de evaluación
a)  Control de asistencia a clases teórico-prácticas.

Al final de la primera o segunda horas de clase, según se considere
oportuno,
se propondrá un pequeño ejercicio (de una duración de 15 minutos o menos) sobre
las cuestiones tratadas en esa clase.
La finalidad de estas pruebas es doble:
-   Controlar la asistencia a clase que se valorará con 0.5 puntos si se supera
el 80 % (sólo se permiten dos faltas).
-   Evaluar los conocimientos adquiridos que se valorarán con 0.5
puntos si la media de las notas de estos ejercicios es superior o
igual a  cinco.
Si no se puntúa en asistencia (tres o más faltas) no se puede puntuar en los
ejercicios, aunque los días que asistan los realicen.

b)  Tarea Evaluable.

Por cada tema de la signatura los alumnos entregarán resueltos, debidamente
razonados y explicados, 5 ejercicios previamente publicados en el Campus
Virtual.El día de la entrega de cada tarea, el profesor podrá pedir al alumno
aclaraciones sobre la tarea entregada. Los alumnos que entreguen en plazo(antes
de finalizar el tema siguiente) las tareas obtendrán una puntuación final de 0.5
puntos.Las tutorías personales son fundamentales para esta tarea.

c)  Clases prácticas con ordenador.

En el campus virtual se colgarán los archivos correspondientes a las
prácticas en las versiones PDF y ejecutable.
Los alumnos han de estudiar previamente la práctica.
En el primer cuarto de hora de la clase se expondrá el problema a tratar
(bien en pizarra o con cañón) y se resuelven las dudas surgidas. El resto de la
clase se dedica a la resolución individualmente de un problema propuesto similar
al estudiado. Al final de la clase los alumnos enviarán al profesor la tarea
realizada.
Para que el alumno pueda obtener calificación positiva ha de tener enviados
al menos un 80 % de los ejercicios. La calificación máxima que se puede obtener
es de un punto que se repartirá proporcionalmente teniendo en cuenta la
corrección en la elaboración de las tareas enviadas.
La calificación de prácticas se mantendrá para las convocatorias de Junio,
Septiembre y Enero.

d)  Examen final.

El examen final estará compuso por cinco o seis problemas o ejercicios de la
materia tratada durante el curso y su valoración será de 10 puntos.
La calificación mínima en el examen para poder sumar las notas
anteriores, debe ser 3.5 puntos.

Se considerará aprobado el alumno que obtenga al menos 5 puntos.

D. G. Zill.
Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado(7ª edición).Ed. Thomson.

A.García, F. García, A. López, G. Rodríguez, A. De La Villa
Ecuaciones diferenciales ordinarias (Teoría y Problemas)

F. Simmons.
Ecuaciones Diferenciales.Ed. Mc Graw-Hill.

J. Martínez Salas.
Métodos Matemáticos. Valladolid.

L. Elsgoltz.
Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional. Ed. Mir.

Krasnov,Kiseliov y otros.
Curso de Matemáticas superiores para ingenieros. Ed. Mir.

E. D. Rainville.
Ecuaciones diferenciales elementales. Ed. Trillas.

Kiseliov,Krasnov,Makarenko.
Problemas de ecuaciones diferenciales. Ed. Mir.