Profesorado

María Angeles Moreno Frías

Situación

Prerrequisitos

Para  cursar esta asignatura se recomienda que el alumno haya cursado las
asignaturas de "Anillos y Cuerpos" y "Estructuras Algebraicas".

Contexto dentro de la titulación

El Álgebra Conmutativa es esencialmente el estudio de los anillos conmutativos y
su noción central es el ideal primo. Éste proporciona una generalización común
de los primos de la Aritmética y de los puntos de la Geometría. La noción
geométrica de concentrar la atención en un entorno de un punto, tiene su análoga
algebraica en el importante proceso de localización de un anillo en un ideal
primo. Por tanto, no es sorprendente, que resultados sobre localización puedan
ser considerados de manera útil en términos geométricos. Así el Álgebra
Conmutativa es ahora una de las piedras fundamenteales de la Geometría
algebraica. Proporcional los instrumentos locales completos para esta rama de la
Matemática, de forma más o menos análoga a como el Análisis diferencial
proporciona los instrumentos para la Geometría diferencial. Por todo ello,
consideramos imprescindible esta asignatura en la formación de un matemático.

También será un referente para la asignatura de "Álgebra Computacional"

Recomendaciones

Se recomienda que el alumno tenga aprobadas las asignaturas del área de álgebra
impartidas en cursos anteriores, esto es:
-Álgebra Lineal.
-Teoría de Grupos.
-Anillos y Cuerpos.
-Estructuras  Algebraicas.

Competencias

Competencias transversales/genéricas

INSTRUMENTALES:
-Capacidad de análisis y síntesis.
-Capacidad de organización y planificación.
-Comunicación oral y escrita en la lengua nativa.
-Capacidad de gestión de la información.
-Resolución de problemas.
-Toma de decisiones.

PERSONALES:
-Trabajo en equipo.
-Habilidades en las relaciones interpersonales.
-Razonamiento crítico.

SISTÉMICAS:
-Aprendizaje autónomo.
-Adaptación a las nuevas situaciones.
-Creatividad.

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  -Conceptos básicos de anillos y módulos.
  -Extensión y contracción de ideales.
  -Propiedades de módulos finitamente generados.
  -Lema de Nakayama.
  -Espectro primo de un anillo. Topología de Zariski.
  -Subconjuntos multiplicativamente cerrados.
  -Localización de anillos.
  -Extensión y contracción de ideales en anillos localizados.
  -Localización de módulos.
  -Caracterización de la dependencia entera.
  -Teorema del Ascenso. Teorema del Descenso.
  -Condiciones de cadena en anillos y módulos.
  -Teorema de la base de Hilbert.
  -Anillos de polinomios.
  -Teorema de los Ceros de Hilbert.
  -Lema de Normalización.
  -Descomposición primaria en módulos noetherianos.
  -Teorema de estructura de anillos artinianos.
  -Funciones de Hilbert.
  -Caracterización en anillos locales artinianos.
  -Anillos regulares
  

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  -Resolución de modelos utilizando técnicas algebraicas.
  -Visualización e interpretación de soluciones.
  -Identificación y localización de errores lógicos.
  -Argumentación lógica en la toma de decisiones.
  -Aplicación de los conocimientos a la práctica.
  

• Actitudinales:

  -Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las matem´ti8cas.
  -Expresión rigurosa y clara.
  -Razonamiento lógico e identificación de errores en los procedimientos.
  -Capacidad de relacionar las matemáticas con otras disciplinas.
  -Capacidad crítica.
  -Capacidad de adaptación.
  -Capacidad de abstracción.
  -

Objetivos

Conocer ejemplos   de anilos  concretos, especialmente del
anillos de polinomios sobre un cuerpo con un nº finito de variables.


Comprender los módulos sobre anillos conmutativos, así como de sus morfismos.

Conocer la noción de conjunto multiplicativo cerrado, y dominar los casos
estándar.

Entender la relación con el estudio local de una variedad. Dominar la
extensión y contracción de ideales.
Entender la noción de extensión entera. Dominar los ejemplos básicos. Conocer
los teoremas de ascenso y descenso.
Entender la noción de condición de cadena en un conjunto ordenado, y comprender
su asimetría.
Conocer el Teorema de estructura de anillos
artinianos.
Comprender el Teorema de la base de Hilbert.
Entender la noción de dimensión de Krull de un anillo, y su relación con la
dimensión de una variedad. Aprender técnicas de cálculo, y aplicarlas a
casos elementales.
Dominar el cálculos en el caso noetheriano local.
Comprender la noción de regularidad en el caso local y su relación con la
noción
de punto regular de una variedad. Comprender la noción de regularidad
global.

Programa

Tema 1: Conceptos básicos de anillos y módulos.
Repaso de conceptos básicos.
Extensión y contracción de ideales.
Propiedades de módulos finitamente generados. Lema de Nakayama.
Espectro primo de un anillo. Topología de Zariski.

Tema 2: Localización.
Subconjuntos multiplicativamente cerrados. Localización de anillos.
Extensión y contracción de ideales en anillos localizados.
Localización de módulos.

Tema 3: Dependencia entera
Caracterización de la dependencia entera.
Extensión y contracción de ideales.
Teorema del Ascenso. Teorema del Descenso.

Tema 4: Condiciones de cadena.
Repaso de conceptos básicos. Condiciones de cadena en anillos y módulos.

Tema 5: Anillos Noetherianos
Propiedades básicas. Teorema de la base de Hilbert.
Anillos de polinomios. Teorema de los Ceros de Hilbert. Lema de Normalización.
Descomposición primaria en módulos noetherianos.

Tema 6: Anillos Artinianos
Conceptos básicos.
Teorema de estructura de anillos artinianos.

Tema 7: Teoría de la dimensión
Definición.
Funciones de Hilbert.
Caracterización en anillos locales artinianos.

Tema 8: Anillos regulares
Definición.
Caracterización homológica de la dimensión.

Actividades

Clases teóricas-prácticas con la posibilidad de organizar pequeños seminarios
cuyo contenido vendrá determinado por temas que hayan despertado
interés en nuestros alumnos en el desarrollo de las clases.

Metodología

Las clases teóricas consistirán en una exposición organizada de los contenidos
por temas. El profesor intentará recabar la colaboración activa del alumno con
preguntas y propuestas para pensar.
Las clases prácticas consistirán en trabajo individual o en grupo de los
alumnos,
con objeto de resolver los problemas de las relaciones entregadas por el
profesor.
Durante las mismas se incentiva el uso de material bibliográfico adicional. El
profesor supervisa el trabajo individual y/o colectivo, haciendo propuestas o
sugerencias a las preguntas de los alumnos.

Distribución de horas de trabajo del alumno/a

Nº de Horas (indicar total):

• Clases Teóricas: 40  
• Clases Prácticas: 20  
• Exposiciones y Seminarios:  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas:  
  • Individules:  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado:  
  • Sin presencia del profesorado:  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 62.5  
  • Preparación de Trabajo Personal: 37.5  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 4  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal):  

Técnicas Docentes

Criterios y Sistemas de Evaluación

El elemento básico de la evaluación es el Examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el Decanato de la Facultad.
Consiste en una prueba escrita con una duración de 4 horas y en la que el
alumno
deberá demostrar su habilidad en la resolución de problemas, evaluándose su
capacidad para enfrentrarse a situaciones ya conocidas (problemas
propuestos en clase) y a otras situaciones nuevas.

La superación de la asignatura supone

Haber adquirido los conceptos fundamentales acerca de los contenidos de la
asignatura. y conocer los resultados fundamentales acerca de las
relaciones entre los conceptos matemáticos introducidos. Concretamente:
1. Comprender los módulos sobre anillos conmutativos, así como de sus
morfismos.
Tener un dominio de los ejemplos concretos, especialmente de
los
cocientes de anillos de polinomios sobre un nº finito de variables.
2. Conocer la noción de conjunto submultiplicativo, y dominar los casos
estándar. Entender la relación con el estudio local de una variedad. Dominar
la
extensión y contracción de ideales en una localización.
3. Entender la noción de extensión entera. Dominar los ejemplos básicos.
Conocer
los teoremas de ascenso y descenso. Comprender el uso del Lema
de Normalización y el Teorema de los ceros.
4. Entender la noción de condición de cadena en un conjunto ordenado, y
comprender su asimetría. Conocer el Teorema de estructura de anillos
artinianos. Comprender el Teorema de la base de Hilbert.
5. Entender la noción de dimensión de Krull de un anillo, y su relación con la
dimensión de una variedad. Aprender técnicas de cálculo, y aplicarlas a
casos elementales. Dominar el cálculos en el caso noetheriano local.
6. Comprender la noción de regularidad en el caso local y su relación con la
noción de punto regular de una variedad. Comprender la noción de
regularidad global.


Deberá, además, haber adquirido las siguientes destrezas:


1. Determinar la topología de Zariski de un anillo cociente de un anillo de
polinomios.
2. Dar una presentación de una localización prima de un anillo. Calcular el
espectro primo de un anillo localizado.
3. Conocer ejemplos de anillos y módulos noetherianos/artinianos. Diferenciar
ambos tipos.
4. Calcular la dimensión de Krull en casos elementales, así como en sus
localizaciones primas y extensiones enteras.
5. Calcular la serie de Poincaré y el polinomio de Hilbert para ejemplos
concretos de anillos noetherianos. Calcular la dimensión de Krull de anillos
noetherianos locales

Recursos Bibliográficos

1. Introducción al Algebra Conmutativa. M.F. Atiyah, I.G. MacDonald. Ed.
Reverté, 1980.
2. Algebra conmutativa y homológica I. T. Sánchez Giralda. Publ. Universidad de
Valladolid, 1996.
3. Conmutative ring theory. H. Matsumura. Cambridge University Press, 1986.
4. Introduction to commutative algebra and algebraic geometry. E.Kunz.
Birkhäuser, 1980.
5. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. D. Eisenbud, GTM
150, Springer-Verlag.