Profesorado

FRANCISCO BENITEZ TRUJILLO

Situación

Prerrequisitos

El Plan de Estudios no establece ningún prerrequisito para poder cursar esta
asignatura.

Contexto dentro de la titulación

El contenido de esta asignatura constituye la base indispensable
para el posterior estudio de las distintas materias, entre otras muchas
razones, porque en ella se establecen las herramientas básicas del análisis
matemáticos.

Recomendaciones

-

Competencias

Competencias transversales/genéricas

Capacidad de análisis y de síntesis
Comunicación oral y escrita
Resolución de problemas

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  Conocer las propiedades algebraicas y de orden de los  números
  reales y sus subconjuntos: naturales, enteros, racionales e irracionales.
  
  Conocer la propiedad de completitud de los números reales (el
  principio del supremo), conjuntos acotados: supremo e ínfimo, máximo y
  mínimo, intervalos y el Principio de los intervalos encajados.
  
  Conocer el concepto de funciones enteras (potenciación) y algebraicas
  (radicación), exponenciales y logarítmicas así como las
  trigonométricas y sus inversas. Sus dominios, recorridos y gráficas.
  
  Conocer los conceptos de funciones monótonas y funciones acotadas:
  máximos y mínimos, inyectividad, composición de funciones y función
  inversa.
  
  Conocer los conceptos de sucesión, Progresiones aritméticas,
  geométricas y aritmético geométrica, sucesiones monótonas y
  sucesiones acotadas.
  
  Conocer el origen y definición del número e.
  
  Conocer los conceptos de sucesión convergente, así como sus
  propiedades,  y sucesión divergente.
  
  Conocer los conceptos de serie así como la de convergencia y suma de
  una serie. Saber aplicar los criteros usuales de convergencia.
  
  Conocer los conceptos de condición de Cauchy, subsucesiones,
  límites de oscilación, límites superior e inferior, así como los
  principales resultados relacionado como el teorema de Bolzano-
  Weierstrass.
  
  Conocer los conceptos de límite de funciones, límites laterales,
  límites infinitos y en el infinito, asíntotas, infinitos e
  infinitésimos, su orden y equivalencias.
  
  Conocer técnicas básicas del cálculo de límites de sucesiones y
  funciones.
  
  Conocer el concepto de continuidad y resultados fundamentales.

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  Manejar con soltura desigualdades y acotación de conjuntos, en
  expresiones en las que intervengan funciones elementales y, en
  particular, valor absoluto.
  
  Saber probar propiedades de números reales usando las técnicas
  básicas de demostración (contrarrecíproco, reducción al absurdo,
  método de inducción, ...)
  
  Saber resolver ecuaciones e inecuaciones algebraicas o trascendentes
  (exponenciales, logarítmicas y trigonométricas)
  
  Operar con soltura con números reales, con expresiones algebraicas o
  trascendentes y con números complejos.
  
  Encontrar términos generales de determinadas sucesiones (polinómicas
  o exponenciales), así como su suma.
  
  Realizar cálculos de límites de sucesiones mediante técnicas básicas
  y mediante el uso de la regla de Stolz o sus consecuencias.
  
  Determinar monotonía, convergencia y acotación de sucesiones que
  vienen dadas por un término general o por recurrencia.
  
  Determinar el carácter de convergencia de series usando los criterios
  clásicos de convergencia así como calcular la suma de series en casos
  sencillos.
  
  Realizar cálculos de límites de funciones.
  
  Cálculos de expresiones de la funciones inversas de otras dadas,
  después de estudiar su inyectividad y/o monotonía.
  

• Actitudinales:

  Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las matemáticas
  Capacidad de mostrar la vertiente lúdica de las matemáticas
  Expresión rigurosa y clara
  Razonamiento lógico e identificación de errores en los procedimientos
  Generación de curiosidad e interés por las matemáticas
  Capacidad de crítica
  Capacidad de abstracción
  

Objetivos

Competencia 1 (transversal):
-------------
Conocer, para después aplicar, las herramientas básicas del lenguaje para el
razonamiento matemático.

-- Habilidades:
* Conocer los símbolos del lenguaje de los conjuntos.
* Dar conjuntos por extensión y por comprensión.
* Conocer los significados de proposiciones verdaderas, falsas e indecidibles.
* Reconocer cuándo, en general, una implicación es verdadera.
* Conocer los siguientes términos y distinguirlos: condición necesaria, condición
suficiente, condiciones equivalentes.
* Conocer los siguientes términos y distinguirlos: implicación recíproca y
contrarrecíproca.
* Conocer la relación que existe entre la condición que define el conjunto unión
y las condiciones de los conjuntos que la forman. Lo mismo para la intersección y
la diferencia de conjuntos.
* Negar proposiciones.
* Conocer los siguientes términos y distinguirlos: axioma, definición,
proposición, teorema, lema y corolario
* Reconocer en una proposición (teorema) cuáles son las hipótesis y cuáles las
tesis.
* Reconocer y saber utilizar las demostraciones directa, por el contrarrecíproco
y por reducción al absurdo.

Competencia 2:
-------------
Manejar con soltura las propiedades algebraicas, de orden y de completitud del
conjunto de los números reales.

-- Habilidades:
* Conocer todas las propiedades algebraicas y de orden de los números reales.
* Saber demostrar propiedades que se derivan de los axiomas o de otras
propiedades.
* Conocer y saber utilizar el método de inducción en algunas demostraciones.
* Conocer, saber aplicar y demostrar la caracterización del supremo así como la
correspondiente al ínfimo.
* Saber enunciar y aplicar el principio del supremo.
* Saber enunciar y aplicar la propiedad arquimediana en las dos versiones.
* Conocer la propiedad del buen orden de N.
* Conocer la definición de parte entera de un número real y saber aplicarla.
* Conocer las definiciones y terminología que se aplica a los intervalos:
abiertos, cerrados, semiabiertos, longitud y extremos.


Competencia 3:
-------------
Manejar las propiedades elementales del cuerpo de los números complejos.

-- Habilidades:
* Saber definir y representar  números complejos.
* Conocer las operaciones, y sus propiedades, con números complejos.
* Conocer y saber hallar el módulo, el conjugado, el opuesto y el inverso de un
complejo.
* Saber representar gráficamente conjuntos de números complejos dados por
igualdades o desigualdades con complejos.
* Saber interpretar geométricamente el resultado de multiplicar un complejo por
otro de módulo unidad (giros).
* Saber hallar las raíces complejas de polinomios de grado dos.
* Conocer la fórmula de De Moivre y saberla aplicar para hallar potencias y
raíces de números complejos.

Competencia 4:
-------------
Manipular desigualdades y acotar conjuntos sencillos de números reales o
complejos.

-- Habilidades:
* Conocer cómo cambia una desigualdad cuando le sumamos un número y cuando la
multiplicamos por un número.
* Saber qué ocurre cuando sumamos o multiplicamos dos desigualdades.
* Conocer la definición de valor absoluto y sus propiedades.
* Conocer y saber aplicar la equivalencia al menor o igual.
* Conocer las definiciones de cotas superior e inferior, supremo e ínfimo, máximo
y mínimo y saberlas aplicar para reconocerlos o encontrarlos en un conjunto
sencillo.
* Conocer las definiciones de conjunto acotado, acotado superiormente y acotado
inferiormente y saberlas aplicar en un conjunto dado.


Competencia 5:
-------------
Conocer las propiedades fundamentales de las funciones algebraicas y operar con
ellas. Composición e inversa. Analizar y representar funciones, deducir
propiedades de una función a partir de su gráfica.

-- Habilidades:
* Definiciones de potencias, raíces cuadradas, cúbicas, etc, así como los
conceptos de base, exponente, radicando e índice de una raíz.
* Propiedades de las potencias y radicales y entender las demostraciones.
*  Expresar una raíz en forma de exponente y viceversa. Saber como afecta la
potencia y la radicación al aplicarlas a desigualdades.
* Conceptos de número racional, irracional, algebraico y trascendente.
* Concepto de conjunto denso en R. En particular, saber que el conjunto de los
racionales y
el de los irracionales son conjuntos densos en R.
* Conceptos de función, dominio, rango o imagen y gráfica de una función, origen
e imagen de un elemento, imagen de un conjunto y funciones definidas a trozos.
* Operaciones con funciones, conceptos de funciones enteras o polinómicas,
lineales, afines y cuadráticas, y de funciones racionales.
* Gráfica, raíces y signo de  funciones lineales, afines y cuadráticas. Saber
hallar los vértices de parábolas y las raíces de polinomios cuadráticos con y sin
fórmulas.
* Factorización de polinomios.
* Operar con polinomios, en particular la división y las potencias de grado 2 y
3.
* Raíces y signo de funciones polinómicas y racionales.
* Concepto de función compuesta y saber cómo y cuándo se pueden componer
funciones.
* Saber reconocer funciones algebraicas y hallar el dominio de existencia a
partir de su expresión analítica.
* Definición de función inyectiva y técnicas para averiguar si una función es o
no inyectiva.
* Definición y propiedades de la función inversa. Conocer las técnicas para
averiguar si una función es invertible y hallar la expresión analítica
de la inversa en casos sencillos.
* Definiciones de funciones monótonas (creciente, decreciente,...). Conocer las
técnicas para averiguar si una función es o no monótona en casos sencillos.
Conocer la relación entre funciones monótonas e invertibles.
* Definiciones de funciones acotadas superiormente e inferiormente y funciones
acotadas. Conocer las técnicas para encontrar cotas para funciones.
* Conocer la relación entre funciones monótonas, inyectivas e invertibles.
* Definiciones de máximos y mínimo global o absoluto.
* Conocer las técnicas elementales de resolución de ecuaciones e inecuaciones.

Competencia 6:
-------------
Manejar las propiedades de las sucesiones  y series de números reales o complejos
y manejar con soltura algunas sucesiones y series fundamentales.

-- Habilidades:
* Concepto de sucesión y operaciones con sucesiones. Saber escribir los términos
de una sucesión que viene dada por su término general o por recurrencia.
* Reconocer una progresión y su tipo (aritmética, geométrica o
aritmético-geométrica), saber escribir su término general y hallar la suma de un
número finito o indeterminado de términos (con o sin fórmula).
* Encontrar el término general de una sucesión sabiendo que es de tipo
polinómico.
* Conocer el procedimiento del cálculo de la suma de cuadrados, cubos, etc, de
progresiones aritméticas.
* Concepto de convergencia desde los diferentes puntos de vista tratados.
* Propiedades básicas de las sucesiones convergentes: unicidad del límite,
acotación, álgebra de límites, etc.
* Conceptos de límites infinitos.
* Saber aplicar las definiciones de límites en casos concretos.
* Conocer y saber aplicar las técnicas de comparación de sucesiones: mediante
desigualdades (propiedad del "sandwich"), mediante diferencia de sucesiones (si
la diferencia tiende a cero entonces...) o mediante el cociente de sucesiones (si
el cociente tiende a uno entonces...).
* Reconocer, y saber demostrar, el resultado de operar sucesiones convergentes,
divergentes y acotadas; p.e., que la sucesión producto de una convergente a cero
por otra acotada es convergente a cero.
* Conocer los diferentes tipos de monotonía y también las técnicas para averiguar
si una sucesión concreta es monótona y de qué tipo.
* Conocer las relaciones entre monotonía, acotación y convergencia o divergencia.
* Conocer el tipo de monotonía de la imagen de una sucesión mediante funciones
monótonas.
* Definición de continuidad (secuencial) de una función en un punto y en un
conjunto.
* Reconocer los puntos de discontinuidad de funciones definidas a trozos,
mediante expresiones algebraicas.
* Concepto de subsucesión.
* Saber determinar el término general de una subsucesión correspondiente a
subconjuntos concretos de N a partir del término general de la sucesión.
* Conocer el enunciado y la demostración del teorema de Bolzano--Weierstrass.
* Concepto de sucesión fundamental o de Cauchy.
* Conocer el enunciado y la demostración del criterio de convergencia de Cauchy
para una sucesión.
* Concepto de sucesión contractiva y relaciones con el de sucesión de Cauchy y
con el de sucesión convergente.
* Conceptos de límites de oscilación, límite superior y límite inferior de una
sucesión y sus relaciones básicas.

Competencia 7:
-------------
Conocer las propiedades fundamentales de las funciones trascendentes y operar con
ellas. Composición e inversa. Analizar y representar funciones, deducir
propiedades de una función a partir de
su gráfica.

-- Habilidades:
* Conocer las dos sucesiones que definen el número e.
* Conocer la definición y las propiedades de la exponencial.
* Conocer la definición y las propiedades del logaritmo.
* Saber resolver ecuaciones en las que intervienen exponenciales y/o logaritmos.
* Conocer y saber demostrar los límites de exponenciales y logaritmos de
sucesiones convergentes o divergentes.
* Conocer las funciones exponenciales, gráficas y propiedades.
* Conocer las funciones logarítmicas, gráficas y propiedades.
* Conocer las funciones hiperbólicas, gráficas y propiedades.
* Conocer y saber encontrar los dominios y las expresiones analíticas de las
inversas de las funciones
exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas.
* Conocer las seis razones trigonométricas y las relaciones fundamentales entre
ellas.
* Conocer la relación de desigualdad entre el seno, tangente y su arco.
* Saber escribir un número complejo en forma trigonométrica.
* Conocer las fórmulas del seno y coseno de una suma y saber deducir de ellas el
resto de las fórmulas del ángulo doble, ángulo mitad, etc.
* Conocer las funciones trigonométricas: sus gráficas y propiedades.
* Conocer las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente.


Competencia 8:
-------------
Saber calcular límites de algunos tipos de sucesiones y manejar con soltura
algunos de los criterios fundamentales de convergencia de series y calcular la
suma en casos sencillos.

-- Habilidades:
* Saber aplicar el álgebra de límites, así como el resto de las propiedades
estudiados en temas anteriores, para probar la existencia o no del límite de
sucesiones concretas y para hallar ese límite en el caso de que exista.
* Conocer las técnicas para el cálculo de limites con exponenciales, en
particular, los del número e.
* Conocer y saber aplicar la regla de Stolz.
* Conocer y saber aplicar las propiedades de las medias aritméticas y
geométricas.
* Conocer las equivalencias de infinitésimos e infinitos recogidos en el tema y
saber sustituirlos para hallar límites de sucesiones.
* Saber representar gráficamente sucesiones definidas por recurrencia en función
del término anterior.
* Aplicar las propiedades y técnicas aprendidas en temas anteriores para estudiar
la monotonía y acotación así como hallar el límite, si existe, de sucesiones
definidas por recurrencia.
* Manejar con soltura el símbolo sumatorio.
* Conocer la condición necesaria para la convergencia de una serie.
* Conocer y saber aplicar los principales criterios de convergencia: comparación,
cociente, raíz y Raabe.
* Conocer los conceptos de convergencia absoluta e incondicional.
* Reconocer una serie alternada y saber aplicar el criterio de convergencia de
Leibniz.

Competencia 9:
-------------
Comprender y trabajar intuitiva, geométrica y formalmente con la noción de límite
de un función,  así como el cálculo de límites de funciones.

-- Habilidades:
* Concepto de límites, finito o infinito, de una función en un punto y en el
infinito.
* Conocer los distintos enunciados equivalentes al de límite (teorema
fundamental).
* Conocer y saber aplicar las propiedades de los límites.
* Conceptos de límites laterales y relación con el límite.
* Conocer las técnicas básicas de calculo de límites de funciones.

Programa

Tema 1.- Conjuntos y proposiciones.
Conjuntos. Proposiciones. Negación de proposiciones. Implicaciones. Subconjuntos
y condiciones. Implicaciones recíprocas y contrarrecíprocas. Unión de conjuntos.
Intersección de conjuntos. Diferencia de conjuntos. Teoremas y demostraciones.
----------------
Tema 2.- Números reales.
Propiedades algebraicas. Propiedades de orden de los números reales. Números
naturales,  números enteros y números racionales. Valor absoluto de un número
real. Conjuntos acotados: principio del supremo. La propiedad arquimediana y sus
consecuencias. Buen orden de los números reales: parte entera de un número real.
Principio de los intervalos encajados. Representación decimal de los números
reales.
---------------
Tema 3.- Funciones algebraicas.
Potenciación. Radicación. Funciones: concepto y
generalidades. Gráficas. Operaciones con funciones. Funciones
enteras o polinómicas. Funciones racionales. Composición de funciones. Función
inversa. Funciones monótonas y acotadas. Ecuaciones e inecuaciones.
-----------
Tema 4.- Sucesiones y subsucesiones.
Concepto de sucesión. Progresiones aritméticas. Progresiones geométricas.
Progresiones aritmético-geométricas. Sucesiones cuyo término general es
polinómico. Convergencia. Sucesiones que tienden a cero. Álgebra de límites.
Límites infinitos. Sucesiones monótonas. Imagen de una sucesión mediante
funciones reales: funciones continuas.
Subsucesiones. Subsucesiones: teorema de Bolzano-Weierstrass. Sucesiones de
Cauchy. Límites de oscilación.
---------------
Tema 5.- Funciones trascendentes.
El número e. Exponencial de un número real. Funciones exponenciales. Logaritmo de
un número real. Funciones logarítmicas. Números complejos. Las razones
trigonométricas. Forma trigonométrica y forma polar de un número complejo.
Funciones trigonométricas.
----------------
Tema 6.- Cálculo de límites y series numéricas.
Cálculo mediante transformaciones y acotaciones. Límites con exponenciales. Regla
de Stolz. Infinitos e infinitésimos: equivalencias. Sucesiones recurrentes:
estudio de la monotonía, acotación y convergencia. Concepto de serie. Criterios
de convergencia. Suma de series. Convergencia absoluta y condicional. Series
alternadas.
-----------
Tema 7. Límite de funciones.
Límite de una función en un punto. Límites laterales. Límites infinitos y en el
infinito. Cálculo de límites.

Actividades

Clases teórico-prácticas en gran grupo. Tareas quincenales en pequeño grupo e
individual.

Metodología

Metodología basada en la participación del alumno, la interacción profesor -
alumnos y alumnos - alumnos. Se le concede un papel destacado a la metodología
basada en la Resolución de Problemas en aquellos tópicos que lo permitan.
Se realizarán tareas adaptativas individuales quincenalmente.

Criterios y Sistemas de Evaluación

La evaluación se realizará mediante examen consistente en resolución de
problemas y demostraciones de resultados complementarios.

Para la calificación de los ejercicios, a parte del resultado, se obtendrá
mayor o menor valoración según que:
1.- desarrolle o no los ejercicios de forma clara y con orden, detallando los
pasos que va dando.
2.- demuestre o no que tiene idea de la mayoría de las técnicas y conceptos
involucrados en el examen.
3.- razone o no de forma correcta.
4.- cometa o no errores de concepto.

Recursos Bibliográficos

Los alumnos dispondrán de los contenidos desarrollados en apuntes para la
asignatura así como otra información bibliográfica en el campus virtual de la
Universidad de Cádiz.