Profesorado

Elena Medina Reus y Antonio Arriaza

Situación

Prerrequisitos

Análisis de funciones de una variable, Ecuaciones diferenciales ordinarias,
Ecuaciones en Derivadas Parciales, Métodos Numéricos, Cálculo Numérico

Contexto dentro de la titulación

La asignatura muestra como algunos sistemas reales, en física, biología,
ingeniería, etc, pueden describirse en términos matemáticos, centrándose en
particular en sistemas que pueden describirse en términos de ecuacion4es
diferenciales y ecuaciones en diferencias.
Una vez formulado el modelo, se quiere extraer del mismo algunas consecuencias
que nos ayuden a entender, incluso a modificar el sistema. Para ello es
necesario aplicar técnicas estudiadas en otras asignaturas (esencialmente las
incluidas en el apartado "prerrequisitos")

Recomendaciones

No se recomienda cursar la asignatura sin haber superado la asignatura de
ecuaciones diferenciales ordinarias, y se recomienda fuertemente haber cursado
también la asignatura de ecuaciones en derivadas parciales.
Se va a proponer el análisis de modelos, haciendo uso del programa Mathematica,
que ya se ha utilizado en otras asignaturas de la licenciatura. Es también
necesario tener cierta soltura en el manejo del programa.
Los métodos numéricos que se utilicen se implementarán mediante instrucciones
de Mathematica, no es por tanto imprescindible conocerlos en profundidad,
aunque si tener claro qué es lo que nos proporciona un método numérico.

Competencias

Competencias transversales/genéricas

Ser capaz de aplicar algunas técnicas matemáticas para entender sistemas
reales, poder predecir comportamientos futuros y saber cómo puede controlarse
su comportamiento, para obtener resultados satisfactorios.

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  Saber que un sistema real puede ser estudiado mediante un modelo
  matemático

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  Formular un modelos matemático que permita estudiar un sistema.
  
  Elaborar el modelo una vez formulado: Obtener resultados e
  interpretarlos.
  
  Utilizar los resultados para entender el sistema, predecir
  comportamientos futuros y modificar su comportamiento si es
  conveniente.

• Actitudinales:

  Encontrar natural el análisis de sistemas haciendo uso de técnicas
  matemáticas.

Objetivos

Que el alumno pueda formular modelos matemáticos sencillos para el estudio de
sistemas a partir de ciertas leyes básicas de caracter empírico y algunas
hipótesis acerca del sistema.

Que el alumno sepa extraer resultados a partir del modelo, que sepa que no
siempre el resultado que interesa es la solución (normalmete imposible de
determinar) sino más bien comportamientos asintóticos.

Que el alumno pueda extraer consecuencias para el sistema a partir de los
resultados obtenidos para el modelo.

Que se sepa discutir el comportamiento de un sistema descrito en términos de
modelos que dependen de parámetros.

Programa

1. El concepto de modelo matemático: Concepto de modelo
matemático. Aplicaciones de los modelos. Algunos modelos
sencillos.

2. Sistemas dinámicos: Ecuaciones diferenciales
autómas: soluciones de equilibrio, estabilidad,
comportamiento asintótico de las soluciones. Sistemas dinámicos planos:
aproximación lineal, el teorema de Hartman-Grossman. Trazado del
mapa de fases. Ciclos límite. Bifurcaciones.

3.Modelos unidimensionales en dinámica de poblaciones:
El modelo malthusiano y el modelo logístico. Modelos
compensatorios, despensatorios y despensatorio crítico.
Explotaciónde recursos naturales. El modelo de Ludwig.

4. Modelos discretos unidimensionales: Modelos lineales. Soluciones de
equilibrio y estabilidad. Análisis del
modelo logístico: punto de equilibrio estable, bifurcaciones,
soluciones periódicas y caos.

5. Modelos bidimensionales en dinámica de poblaciones:
Models depredador presa de Lotka-Volterra. Modelos de competición de especies.

6. Sistemas conservativos: Función potencial y
energía. El teorema de conservación de la energía.
Bifurcaciones en sistemas conservativos.

7. Sistemas disipativos y oscilaciones autosostenidas en
física no lineal: Movimiento vibratorio amortiguado y el
concepto de sistema disipativo. El oscilador de Duffing
amortiguado. El oscilador de van der Pol: existencia de ciclo
límite estable, carácter disipativo del modelo y
comportamiento oscilatorio de las soluciones.

8. Fenómenos de difusión: Deducción de la
ecuación de difusión.  Soluciones elementales. Difusión en regiones
acotadas.  Ecuaciones de reacción-difusión:
crecimiento malthusiano y crecimiento logístico: la
ecuación de Fisher.

Metodología

Clases teóricas impartidas por el profesor.

Clases prácticas en las que se motiva al alumno a que aborde el estudio de
algunos modelos sencillos, tanto desde un punto de vista teórico como haciendo
uso de cálculo simbólico y numérico mediante el programa Mathematica.

Distribución de horas de trabajo del alumno/a

Nº de Horas (indicar total): 210

• Clases Teóricas: 30  
• Clases Prácticas: 10  
• Exposiciones y Seminarios: 0  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 0  
  • Individules: 5  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado: 20  
  • Sin presencia del profesorado:  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 55  
  • Preparación de Trabajo Personal:  
  • ...

    90 horas para
    terminar el estdio
    de modelos
    concretos que le
    han sido propuestos
    y que ha empezado a
    estudiar en
    presencia del
    profesor en las 20
    horas dedicadas a
    actividades
    académicas
    dirigidas.

     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito:  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal):  

Técnicas Docentes

Criterios y Sistemas de Evaluación

La evaluación se realizará a partir de trabajos propuestos al alumno que debe ir
entregando a lo largo del cuatrimestre.

Recursos Bibliográficos

Medina, E.,  Apuntes de la asignatura Modelos
Matemáticos de las Ciencias Experimentales.

Romero Romero, J.L. y García Vázquez, C.
Modelos y Sistemas Dinámicos. Servicio de Publicaciones de
la Universidad de Cádiz.

Hale, J.K. and  Kocak, H. Dynamics and
Bifurcation. Springer-Verlag 1991.

Murray J.D. Mathematics and Biology.
Springer-Verlag 1988.

Perko L. Differential Equations and Dynamical
Systems.Springer-Verlag 1991.

Banks, R.B. Growth and Diffusion Phenomena.
Mathematical Frame, Works and Applications. Springer-Verlag,
1994.