Profesorado

José Manuel Díaz Moreno

Situación

Prerrequisitos

El Plan de Estudios no establece ningún prerrequisito para poder cursar esta
asignatura.

Contexto dentro de la titulación

Los espacios métricos constituyen el fundamento indispensable para un estudio
serio y riguroso del Análisis Matemático. La asignatura recoge los principales
conocimientos que es necesario poseer para estar en condiciones de seguir
posteriormente un curso de Análisis Matemático y de Análisis Funcional
elemental.

Recomendaciones

Se recomienda que el alumno haya adquirido el suficiente conocimiento y
madurez en los contenidos de las asignaturas de Introducción al Método
Matemático e Introducción al Análisis.

Competencias

Competencias transversales/genéricas

Capacidad de análisis y síntesis
Comunicación oral y escrita
Resolución de problemas

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  - Conocer el concepto de distancia y la estructura de espacio
  métrico.
  - Saber distinguir cuándo un conjunto es abierto o cerrado en
  función de la distancia definida.
  - Saber hallar los subconjuntos notables relativos a un conjunto
  dado y conocer sus propiedades
  topológicas.
  - Conocer las nociones de conjunto conexo, conjunto compacto y
  conjunto completo.
  - Tener familiaridad con los conjuntos conexos, compactos y
  completos en R y R^n con las distancias
  habituales.
  - Conocer el concepto de continuidad de aplicaciones entre espacios
  métricos.
  - Establecer las relaciones entre las aplicaciones continuas y las
  propiedades de los conjuntos.
  - Conocer los conceptos y teoremas fundamentales acerca de los
  espacios métricos.
  

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  Identificación y localización de errores lógicos
  Aplicación de los conocimientos a la práctica
  Argumentación lógica

• Actitudinales:

  Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las matemáticas
  Capacidad de mostrar la vertiente lúdica de las matemáticas
  Expresión rigurosa y clara
  Razonamiento lógico e identificación de errores en los procedimientos
  Generación de curiosidad e interés por las matemáticas
  Capacidad de crítica
  Capacidad de abstracción

Objetivos

Conocer el concepto de distancia y la estructura de espacio métrico.
Saber distinguir cuándo un conjunto es abierto o cerrado en función de la
distancia definida.
Saber hallar los subconjuntos notables relativos a un conjunto dado y conocer
sus propiedades topológicas.
Conocer las nociones de conjunto conexo, conjunto compacto y conjunto completo.
Tener familiaridad con los conjuntos conexos, compactos y completos en R y R^n
con las distancias habituales.
Conocer el concepto de continuidad de aplicaciones entre espacios métricos.
Establecer las relaciones entre las aplicaciones continuas y las propiedades
de los conjuntos.
Conocer los conceptos y teoremas fundamentales acerca de los espacios métricos.

Programa

1. El concepto de distancia. Espacios métricos

1.1 La distancia euclídea en R. Propiedades básicas.
1.2 Distancias habituales en R2. Propiedades básicas.
1.3 La noción de distancia en un conjunto. Propiedades.
1.4 El concepto de espacio métrico.

2. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados

2.1 Bolas abiertas y bolas cerradas.
2.2 Conjuntos abiertos. Resultados básicos.
2.3 Conjuntos cerrados. Resultados básicos.

3. Interior, exterior y frontera de una conjunto

3.1 Punto interior a un conjunto. Interior de un conjunto.
3.2 Punto exterior a un conjunto. Exterior de un conjunto.
3.3 Punto frontera de un conjunto. Frontera de un conjunto.
3.4 Propiedades topológicas.

4. Adherencia y acumulación de un conjunto.

4.1 Punto adherente a un conjunto. Adherencia de un conjunto.
4.2 Propiedades de la adherencia de un conjunto.
4.3 Subconjuntos densos.
4.4 Resultados principales sobre conjuntos densos.
4.5 Punto de acumulación. Acumulación de un conjunto.

5. Subespacios métricos

5.1 Distancia inducida en un subconjunto.
5.2 Subespacios métricos.
5.3 Abiertos y cerrados en los subespacios.
5.4 Interior, exterior, frontera y adherencia en los subespacios.

6. Conjuntos conexos

6.1 Conjuntos separados.
6.2 Conjuntos conexos.
6.3 Caracterización de los conjuntos conexos.
6.4 Componentes conexas.
6.5 Conjuntos conexos en la recta real.

7. Conjuntos compactos

7.1 Conjuntos acotados en R.
7.2 Conjuntos acotados en un espacio métrico.
7.3 Diámetro de un conjunto.
7.4 Conjuntos totalmente acotados.
7.5 Recubrimientos abiertos de un conjunto.
7.6 Conjuntos compactos.
7.7 Resultados básicos sobre conjuntos compactos.
7.8 Conjuntos compactos en R y Rn .

8. Sucesiones

8.1 Sucesiones en R.
8.2 Sucesiones en R2.
8.3 Sucesiones en un espacio métrico. Convergencia.
8.4 Subsucesiones. Convergencia.
8.5 Sucesiones de Cauchy.
8.6 Espacios completos. Conjuntos completos.
8.7 Conjuntos completos en R y Rn.
8.8 Conjuntos compactos en Rn (revisión).

9. Aplicaciones entre espacios métricos. Continuidad

9.1 Aplicaciones entre espacios métricos.
9.2 Continuidad local.
9.3 Continuidad global. Teoremas de conservación.
9.4 Continuidad uniforme.
9.5 Homeomorfismos e isometrías.

Distribución de horas de trabajo del alumno/a

Nº de Horas (indicar total): 60

• Clases Teóricas: 32  
• Clases Prácticas: 20  
• Exposiciones y Seminarios:  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 8  
  • Individules:  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado:  
  • Sin presencia del profesorado:  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio:  
  • Preparación de Trabajo Personal:  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 4  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal):  

Técnicas Docentes

Criterios y Sistemas de Evaluación

De acuerdo con la normativa vigente, la evaluación se realizará mediante un
examen final. La naturaleza del examen es la siguiente:

- Prueba de conocimientos y procedimientos:

Consta de preguntas cortas acerca de los conocimientos mínimos que un alumno
debe tener. Las preguntas están disponibles en la red y no se puede fallar
ninguna.

- Prueba de razonamiento.

Consta de 8 problemas. El alumno deberá elegir 2 separadamente y hacerlos
correctamente.

Calificación: con la prueba de de conocimientos más los 2 problemas correctos
elegidos se obtiene la calificación de 5 y se aprueba la asignatura. El resto
de los puntos se obtendrá de lo que se haga en los seis problemas restantes no
elegidos (1,5 puntos por problema hasta un máximo de 5).

Recursos Bibliográficos

Bibliografía básica

Introducción a la topología de los espacios métricos.
José Manuel Díaz Moreno
Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz.

Topología de espacios métricos.
Ignacio L. Iribarren.
Editorial Limusa.