Profesorado

Elena Medina Reus y Antonio Arriaza

Situación

Prerrequisitos

Análisis de funciones de una variable, Ecuaciones diferenciales ordinarias y
Métodos numéricos.

Contexto dentro de la titulación

Se trata de una asignatura de métodos numéricos para aproximar soluciones de
problemas de valores iniciales y problemas de contorno para ecuaciones
diferenciales ordinarias. Es por tanto imprescindible que los alumnos conozcan
las asignaturas:

Ecuaciones Diferenciales ordinarias: En particular resulta imprescindible
que se hayan dado cuenta de que son muy pocos los problemas de valores
iniciales y problemas de contorno para los que se puede determinar una solución
exacta en términos de funciones elementales

Métodos Numéricos: Además de estar familiarizados con estos métodos, con el
hecho de que son necesarios de forma general y conocer algunas técnicas que se
volverán a utilizar en la asignatura "Cálculo Numérico" como la interpolación
polinomial, la interpolación polinomial fragmentaria o el método de Newton, es
necesario que entiendan el concepto de convergencia en métodos numéricos y la
necesidad y dificultad de estimar y acotar los errores.

Por otra parte proponemos en la asignatura que los algoritmos numéricos que se
estudian se implemente mediante programación con el programa Mathematica. Este
programa se usa en muchas otras asignaturas de la titulación en cursos
anteriores, y es también conveniente que los alumnos que van a cursar "Cálculo
Numérico" tengan una cierta soltura en el manejo del programa.

En otro sentido la asignatura constituye una base para la aignatura
optativa "Métodos Numéricos para la Ingeniería", y puede también relacionarse
con la asignatura "Modelos Matemáticos en las Ciencias Experimentales"

Recomendaciones

Se recomienda no cursar la asignatura sin tener aprobadas las asignatura
indicadas en el apartado "Prerequistos" y en cualquier caso tener presente que
es posible que un repaso a ciertos aspectos arriba indicados en determinados
momentos del programa (se comenta en clase) podrían ser de gran ayuda para
entender la asignatura.
En el caso de que haya carencias en el manejo del paquete Mathematica, puede
cursarse la asignatura simplemente aumentando el número de horas dedicadas a
los problemas prácticos respecto a las que se indican abajo.

Competencias

Competencias transversales/genéricas

Ser capaz de enfrentarse a determinados problemas matemáticos simultáneamente
desde un punto de vista teórico y práctico, y extraer conclusiones conjuntas.

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  Saber si determinados problemas formulados en términos de ecuaciones
  diferenciales ordinarias tienen solución única.
  Conocer algunos de los métodos numéricos para aproximar las
  soluciones, sabiendo cuál o cuáles podrían ser más adecuados para
  cada problema que se proponga.
  Conocer las propiedades de los métodos. Realizar comparaciones entre
  métodos teniendo en cuenta resultados/esfuerzo de cálculo.

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  Implementar los métodos numéricos con Mathematica.
  Acotar y estimar los errores cometidos.
  Usar interpolación para aproximar la solución fuera de los nodos.
  Usar extrapolación para mejorar resultados.
  Transcribir métodos estudiados para una única ecuación de primer
  orden a sistemas de ecuaciones o ecuaciones de orden superior.

• Actitudinales:

  Encontrarse cómodo con la elección y el manejo de ciertos algorítmos
  numéricos en ecuaciones diferenciales ordinarias.

Objetivos

Conocer los diferentes métodos numéricos para aproximar soluciones de
problemas de valores iniciales y problemas de contorno asociados a ecuaciones
diferenciales ordinarias.

Aprender a realizar programas sencillos para aplicar los métodos.

Proporcionar la capacidad de elegir adecuadamente el método para un problema
determinado. Saber comparar los diferentes métodos en función del esfuerzo de
cálculo que supone cada uno y los resultados obtenidos.

Manejar adecuadamente cotas y estimaciones de los errores.

Programa

1. El método de Euler y el teorema de existencia y unicidad: Fundamentos.
Construcción de la sucesión de aproximaciones, convergencia a la solución del
problema. Unicidad. Error de truncamiento y errores de redondeo en el método de
Euler.

2. Otros métodos de un paso para ecuaciones de primer orden. Convergencia,
consistencia y estabilidad de los métodos de un paso. Error local de
truncamiento y orden de convergencia. Métodos de Taylor y métodos de Runge-
Kutta. Cota y estimación asintótica del error de discretización. Métodos con
paso variable.

3. Métodos multipaso para ecuaciones de primer orden: Fundamentos. Métodos
explícitos y métodos implícitos. Métodos basados en integración. Métodos
predictor-corrector. El método multipaso general lineal. Errores de
truncamiento (error genuino de truncamiento y error de inicialización) en los
métodos multipaso. Convergencia, consistencia y estabilidad de
los métodos multipaso. Estabilidad débil y parámetros de crecimiento.

4. Métodos numéricos para sistemas de ecuaciones y ecuaciones de orden
superior: Transformación de los métodos conocidos para sistemas de ecuaciones
y ecuaciones de orden superior. Métodos de Nyström (un paso) para ecuaciones
especiales de segundo orden. Métodos multipaso para ecuaciones especiales de
segundo orden (métodos de Störmer y métodos de Cowell): propiedades.

5. Resolución numérica de problemas de contorno: Problemas de contorno de clase
M. Existencia y unicidad de solución para un problema de contorno de tipo M.
Métodos de diferencias finitas para problemas lineales
y no lineales. Método de Newton para resolver el sistema de ecuaciones
asociado. Algoritmo LU de Crout para resolver los sistemas lineales
tridiagonales que aparecen en la aplicación de los métodos. El método de
colocación. Introducción a los métodos variacionales.

Metodología

Clases teóricas impartidas por el profesor.

Clases prácticas en las que se motiva al alumno a que aborde los problemas por
sí mismo, haciendo uso del ordenador, y consulte y aclare las dudas que le
surgen al resolver los problemas.

Distribución de horas de trabajo del alumno/a

Nº de Horas (indicar total): 315

• Clases Teóricas: 50  
• Clases Prácticas: 30  
• Exposiciones y Seminarios:  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 0  
  • Individules: 5  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado: 10  
  • Sin presencia del profesorado: 0  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 116  
  • Preparación de Trabajo Personal:  
  • ...

    100 horas de
    práctica personal
    de programación de
    los diferentes
    algorítmos que se
    estudian en la
    asignatura, y en
    su caso aspectos
    teóricos de los
    mismos problemas.

     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 4  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal):  

Técnicas Docentes

Ejercicios que el alumno debe realizar en sesiones
prácticas y que en algunos caso, préviamente avisado,
podrá entregar (con caracter voluntario) al profesor, para
que pase a constituir parte de la nota.

Criterios y Sistemas de Evaluación

El elemento básico de la evaluación es el examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el Decanato de la Facultad.

Consistirá en:
- algunos problemas de aplicar los métodos estudiados realizando los programas
de los algoritmos elegidos con MATHEMATICA
- algunas cuestiones de carácter teórico-práctico: estudiar propiedades de un
método, comparar métodos, realizar estimaciones de error,... .

De forma complementaria y para los alumnos que así lo deseen se propondrá que
algunos días en las clases prácticas en aúla de informática los alumnos
trabajen algunos problemas individualmente, y luego entreguen al profesor. En
caso de que el resultado sea favorable para la nota final también será tenido
en cuenta.


También se valorará la buena disposición en clase y, especialmente, la
participación activa en la resolución de problemas.

La superación de la asignatura supone haber alcanzado un nivel medio de las
siguientes destrezas:
- Saber programar con MATHEMATICA los algoritmos estudiados a lo largo del
curso. Se valorará en los programas algunas características elementales como
que no realicen más cálculos de los necesarios, ...
- Discutir si un problema de valores iniciales tiene solución única
prolongable en un intervalo.
- Mejorar los resultados de un método de un paso usando extrapolación.
- Acotar y estimar los errores cometidos en un método de un paso.
- Comparar los diferentes métodos teniendo en cuenta resultados y esfuerzo de
cálculo.

Recursos Bibliográficos

Bibliografía básica:
- Elena Medina: Apuntes de la asignatura "Cálculo Numérico". Departamento
de Matemáticas
- P. Henrici: Discrete variable methods in ordinary differential equations.
John Wiley 1962.
- E. Issacson, H.B. Keller: Analysis of Numerical Methods. John Wiley 1966.

Bibliografía complementaria
- C.W. Gear: Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential
Equations. Englewood Cliffs. Prentice-Hall 1971.
- J.M. Ortega, W.G.Poole. Numerical Methods for Differential Equations. Pitman
Publishing Inc: 1981
- G. Birkhoff, G. Rota: Ordinary Differential Equations. John Wiley and Sons.
1978