Profesorado

Enrique Pardo Espino

Situación

Prerrequisitos

El plan de Estudios no establece prerrequisito alguno para cursar esta asignatura.

Contexto dentro de la titulación

Es una asignatura obligatoria del primer ciclo de la titulación. En ella los
estudiantes adquieren los conocimientos básicos de grupos necesarios para el
resto de su formación. Es la primera en que los estudiantes se enfrentan al
Álgebra abstracta. Desde el punto de vista de la formación, los alumnos empiezan
a adquirir en ella habilidades de resolución de problemas abstractos en un
contexto que conecta los conocimientos básicos de Análisis y Geometría
adquiridos en el primer curso.

Recomendaciones

Debería tener aprobada las asignaturas "Álgebra Lineal" e "Introducción al
Método Matemático". Es útil para las asignaturas de Geometría, en especial
"Geometría Afín", "Geometría Proyectiva" y "Topología Algebraica".
Asimismo, su
conocimiento es requisito para seguir las asignaturas de "Anillos y Cuerpos" y
"Estructuras Algebraicas"

Competencias

Competencias transversales/genéricas

INSTRUMENTALES: Análisis y síntesis, gestión de la información, resolución de
problemas, toma de decisiones, estructuración, pensamiento abstracto y uso del
lenguaje.

PERSONALES: Razonamiento crítico.

SISTÉMICAS: Aprendizaje autónomo, adaptación a nuevas situaciones, habilidad
para el trabajo autónomo, creatividad, iniciativa y espíritu emprendedor,
motivación para la calidad.

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  1. Conocer los Teoremas de Isomorfía.
  2. Clasificar grupos abelianos finitamente generados.
  3. Conocer la estructura de los grupos de permutaciones.
  4. Conocer y aplicar los Teoremas de Sylow.
  5. Usar presentaciones de grupos.
  

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  Creación de modelos matemáticos para situaciones reales, visualización
  e interpretación de soluciones, identificación y localización de
  errores lógicos, argumentación lógica en la toma de decisiones,
  demostración de resultados matemáticos.

• Actitudinales:

  Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las Matemáticas,
  expresión rigurosa y clara, razonamiento lógico e identificación de
  errores en los procedimientos, capacidad de crítica, adaptación y
  abstracción, pensamiento cuantitativo, capacidad de planificación y
  organización.

Objetivos

1. Comprender las nociones de grupo y morfismo de grupo. Ser capaz de manipular
ejemplos concretos.
2. Manipular grupos de permutaciones. Usarlos para representar grupos concretos.
3. Comprender los Teoremas de estructura y clasificación de grupos abelianos
finitamente generados, y utilizarlos para manipular problemas de grupos
abelianos.
4. Entender la noción de acción de un grupo sobre un conjunto. Dominar las
aplicaciones básicas de los Teoremas de Sylow.
5. Comprender la noción de presentación de un grupo. Dominar su uso para
presentar ejemplos sencillos.

Programa

1. Grupos y subgrupos:
Definiciones básicas: grupo, subgrupo.
Grupo cíclico. Sistemas de generadores. Prsentaciones de grupos.
Orden de un elemento. Orden de un grupo.

2. Grupos simétricos y diédricos:
Grupos de permutaciones finitos.
Estructura de An.
Grupos diédricos.

3. Particiones:
Teorema de Lagrange.
Subgrupos normales. Grupo cociente.
Simplicidad de An. Teorema de Abel.

4. Morfismos de grupos. Teoremas de Isomorfía:
Definición de morfismo.
Monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo.
Núcleo e imagen. Factorización de un morfismo.
Teoremas de Isomorfía.

5. Grupos abelianos finitamente generados:
Independencia lineal. Generadores y bases.
Teorema de estructura de grupos abelianos finitamente generados.
Teorema de clasificación de grupos abelianos finitamente generados.

6. Acciones de grupos sobre conjuntos. Teoremas de Sylow:
Teorema de Cayley. Generalizaciones.
G-conjuntos.
Ecuación de las órbitas.
Teoremas de Sylow. Aplicaciones.

Actividades

- Experimentos (con guión), para manipular las nociones básicas antes de
formalizarlas, y preparación de una breve memoria sobre los mismos.

- Sesiones de teoría mediante grupos de discusión.

- Sesiones de problemas supervisadas en grupo.

- Trabajo académicamente dirigido a final del temario, destinado a que los
alumnos apliquen los conocimientos adquiridos en el estudio de una familia de
grupos.

Metodología

El desarrollo del curso se divide en temas. Cada tema teórico se realiza en un
solo bloque, iniciándose con un experimento mediante guión) en que los alumnos
experimentan las nociones básicas del tema antes de formalizarlas en 4-6 clases
teóricas, más una sesión de síntesis del tema. A continuación se realizan
sesiones de resolución de problemas asistidas por el profesor, en que se conjuga
el trabajo individual y en grupo, que permiten comprender los matices de los
resultados estudiados. Asimismo,
al final del temario se dedican 3-4 sesiones a un trabajo académicamente
dirigido, en que los alumnos, usando un guión, mediante debates en clase y
consultas bibliográficas asistidas por el profesor, aplican los conocimientos
adquiridos para clasificar salvo isomorfismo los grupos finitos de orden menor o
igual que 15, e investigan las técnicas a desarrollar para extender este trabajo
hasta orden 20.

Distribución de horas de trabajo del alumno/a

Nº de Horas (indicar total): 200

• Clases Teóricas: 33  
• Clases Prácticas: 20  
• Exposiciones y Seminarios: 3  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 5  
  • Individules: 0  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado: 7  
  • Sin presencia del profesorado: 0  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 69.5  
  • Preparación de Trabajo Personal: 54.5  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 5  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal): 3  

Técnicas Docentes

Trabajo en grupos reducidos.

Sesiones de problemas individuales y en grupos, supervisadas
por el profesor.

Criterios y Sistemas de Evaluación

El procedimiento de evaluación concede al examen teórico-práctico final un 70% de
la calificación. El 30% restante se obtiene mediante:
1. Exámenes de problemas, consistentes en la entrega de un ejercicio (ajeno a las
relaciones de problemas), en una evaluación que se realizará de manera aleatoria
5 veces en el curso.
2. Realización de los experimentos, y entrega de una memoria de desarrollo de los
mismos.
3. Desarrollo del trabajo final de síntesis.
4. Entrega de otros problemas (de las relaciones) antes de las correspondientes
sesiones de problemas.
5. Entrega de demostraciones escritas a diversas preguntas que se programarán a
lo largo de las sesiones teóricas.
6. Iniciativa y participación en las clases y actividades académicamente
dirigidas.

El criterio para evaluar se basa en:
1. Capacidad de resolución de problemas.
2. Conocimiento de la materia y su aplicación a la resolución de problemas.
3. Capacidad de formalización.
4. Participación en las clases teórico-prácticas.
5  Entrega de material.

La superación de la asignatura supone:

A) Haber adquirido los conceptos fundamentales acerca de los contenidos de la
asignatura. y conocer los resultados fundamentales acerca de las relaciones entre
los conceptos matemáticos introducidos. Concretamente:
1. Comprender las nociones de grupo y morfismo de grupo. Ser capaz de manipular
ejemplos concretos.
2. Comprender el uso de la aritmética modular para clasificar grupos abelianos
finitamente generados salvo isomorfismo.
3. Manipular grupos de permutaciones. Usarlos para representar grupos concretos.
4. Entender la noción de acción de un grupo sobre un conjunto. Dominar las
aplicaciones básicas de los Teoremas de Sylow.
5. Comprender la noción de presentación de un grupo. Dominar su uso para
presentar ejemplos sencillos.

B) Deberá, además, haber adquirido las siguientes destrezas:

1. Operar con ejemplos elementales de grupos: enteros, enteros módulo n,
simetrías de polígonos. Calcular el núcleo y la imagen de un morfismo.
2. Presentar un grupo abeliano finitamente generado usando una descomposición en
grupos cíclicos.
3. Operar con permutaciones de un conjunto. Descomponer una permutación en ciclos
y transposiciones. Calcular el índice de una permutación.
4. Calcular las órbitas y los estabilizadores de una acción.
5. Conocer los procedimientos estándar de uso de los Teoremas de Sylow.
6. Interpretar qué significa una presentación de un grupo en términos de
generadores y relaciones. Ser capaces de dar presentaciones de grupos en casos
elementales.

Recursos Bibliográficos

M. A. Amstrong, "Groups and symmetry", UTM, Springer, 1988.
P. M. Cohn, "Algebra", vol 1, John Wiley 1973.
P. Dubreil, "Teoría de Grupos", Reverté, 1975.
M.A. Moreno, E. Pardo, "Teoría de grupos", Textos básicos universitarios,
Servicio de Publicaciones de la UCA, 2002.
J. J. Rotman, "An introduction to the theory of groups", GTM 148, Springer, 1994.

M. Suzuki, "Group theory", vol 1, SCSM, Springer, 1983.