Profesorado

Juan Luis Romero Romero
Mª Concepción Muriel Patino

Situación

Prerrequisitos

El Plan de estudios vigente no contempla prerrequisitos para cursar esta
asignatura.

Contexto dentro de la titulación

Es una asignatura troncal del primer ciclo de la titulación. En ella los
alumnos adquieren los conocimientos básicos del análisis elemental, que serán
fundamentales para otras asignaturas del área de "Análisis Matemático" y del
área de "Geometría y topología".

Recomendaciones

Es recomendable que el alumno haya cursado, antes del comienzo de las clases,
las asignaturas de  "Introducción al método matemático" y de "Introducción al
análisis matemático". El adecuado conocimiento de esta asignatura será
fundamental para otras asignaturas del área de "Análisis matemático", tales
como "Anáisis de Funciones de varias variables", "Integración", "Análisis
vectorial" o "Ecuaciones diferenciales".

Competencias

Competencias transversales/genéricas

INSTRUMENTALES: análisis y síntesis, gestión de la información, resolución de
problemas, expresión oral y escrita, toma de cecisiones, razonamiento
abstracto, razonamiento crítico.

SISTÉMICAS: Aprendizaje autónomo, adaptación a nuevas situaciones,
creatividad, iniciativa y espíritu emprendedor

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  -Conocer los aspectos básicos del cálculo diferencial.
  -Conocer las técnicas y aplicaciones básicas del cálculo integral.
  -Manejo de las sseries numéricas.
  -Conocer los aspectos básicos de las sucesiones y series de
  funciones.
  -Conocer las series de potencias y las funciones analíticas.

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  Creación de modelos matemáticos de situaciones reales, visualización
  e interpretación de resultados. Identificar errores lógicos en los
  razonamientos y en la toma de decisiones. Saber demostrar los
  resultados esenciales del cálculo infinitesimal.
  

• Actitudinales:

  Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las matemáticas,
  expresión clara y rigurosa, capacidad crítica, capacidad de
  planificación y de organización.

Objetivos

- Conocer el concepto de función continua de un variable real y sus distintas
formulaciones.
- Conocer las propiedades básicas de las funciones continuas sobre intervalos.
- Conocer el concepto de derivada y las derivadas de las funciones
elementales.
- Saber manejar las reglas de derivación.
- Conocer los teoremas del valor medio y sus aplicaciones. Reglas de L'Hopital.
- Saber plantear y resolver problemas de máximos y mínimos.
- Conocer el Teorema de Taylor y sus principales aplicaciones.
- Conocer los principales métodos de cálculo de primitivas.
- Conocer el concepto de integral de Riemann y sus principales aplicaciones.
- Tener soltura en el estudio de la convergencia de integrales impropias.
- Conocer el concepto de serie numérica y sus propiedades básicas.
- Conocer y saber manejar los principales criterios de convergencia.
- Conocer los conceptos de convergencia puntual y uniforme de una sucesión o
una  serie de funciones.
- Manejar los principales criterios de convergencia uniforme.
- Conocer la relación entre la convergencia uniforme y la continuidad,
derivabilidad o integrabilidad de una sucesión de funciones.
- Conocer las series de potencias y sus propiedades básicas.
- Saber calcular el radio de convergencia de una serie de potencias y su
significado.
- Conocer las propiedades analíticas de las funciones elementales.

Programa

1.- Funciones continuas.
El concepto de función continua.
Continuidad lateral. Discontinuidades.
Propiedades de las funciones continuas en un punto.
Funciones continuas en un intervalo cerrado.
Propiedades de conexión.
Funciones monótonas y funciones inversas.
Continuidad uniforme. El Teorema de Heine.

Ejercicios.

2.- Derivación de funciones de una variable
La derivada de una función en un punto.
Interpretación geométrica del concepto de derivada.
Formulaciones alternativas del concepto de derivada.
El concepto de diferencial.  Derivadas laterales.
Propiedades elementales de las funciones derivables.
Derivadas y crecimiento de una función.
Máximos y mínimos locales de una función.
Teoremas del valor medio y aplicaciones.
El teorema de la función inversa.
Las reglas de L'Hôpital.
Derivadas sucesivas. Fórmula de Taylor.
Aplicaciones de las derivadas sucesivas al estudio local de funciones

Representación gráfica de funciones.
Ejercicios

3.- Integración
Sumas inferiores y sumas superiores.
Propiedades de las sumas inferiores y las sumas superiores.
Caracterización e - d de las funciones integrables.
Propiedades de las funciones integrables según Riemann.
La integral como función del intervalo.
El teorema fundamental del cálculo y sus consecuencias.
Aplicaciones de la integral. Integrales Impropias.
Criterios de convergencia para integrandos no negativos.
Convergencia absoluta de integrales impropias.
Ejercicios.

4.- Series numéricas
Introducción y notaciones.
Asociatividad en las series numéricas.
Series de términos positivos.
Series con términos monótonos.
Series alternadas.
Series absolutamente convergentes. Reordenaciones de series.
Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet.
Algunas series sumables:
Las fórmulas de Wallis y de Stirling (opcional).
Ejercicios.

5.- Sucesiones y Series de Funciones.
Introducción, notaciones y ejemplos previos.
Convergencia uniforme de una sucesión de funciones.
Convergencia uniforme y continuidad.
Convergencia uniforme e integración. Convergencia uniforme y derivación.
Series de funciones.
Criterios de convergencia uniforme para series de funciones.
Ejercicios.

3.- Series de Potencias.
Introducción. Radio de convergencia.
Propiedades de las funciones definidas por series de potencias .
Multiplicación de series de potencias.
Funciones analíticas y desarrollos de Taylor .
Algunos desarrollos en series de potencias.
Series de potencias complejas.
Las funciones elementales.
Ejercicios.

Distribución de horas de trabajo del alumno/a

Nº de Horas (indicar total):

• Clases Teóricas:  
• Clases Prácticas:  
• Exposiciones y Seminarios:  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas:  
  • Individules:  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado:  
  • Sin presencia del profesorado:  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio:  
  • Preparación de Trabajo Personal:  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 4  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal):  

Criterios y Sistemas de Evaluación

Para poder superar la asignatura, el alumno deberá superar  el Examen de la
asignatura, en la convocatoria oficial establecida por el
Decanato de la Facultad.   Este examen consiste en una prueba escrita,
con una duración inferior a 4 horas,  la que el alumno deberá responder a un
cuestionario de preguntas con respuestas cortas sobre dos tipos de
contenidos:

1.- el primero se refiere a cuestiones teóricas, sobre conceptos y
resultados  básicos de la asignatura, en el que se evaluará el
conocimiento del alumno sobre enunciados, partes de demostraciones  y
su nivel de comprensión;

2.- el segundo se refiere a la resolución de problemas en el que se
evaluará la capacidad del alumno para enfrentarse a situaciones
ya       conocidas    y a otras
situaciones nuevas.


La superación de la asignatura supone que el alumno haya alcanzado la mayor
parte de los objetivos señalados para esta asignatura.

Recursos Bibliográficos

Bibliografía básica:

- Análisis de Funciones de una Variable.
Juan Luis Romero Romero
(Autor)

- Cálculo infinitesimal de una variable
Juan de Burgos
Editorial Mc-Graw-Hill (1994)

- Calculus I y II
Tom M. Apostol
Editorial Reverté (1990)

- Calculus: Cáculo Infinitesimal
Michael Spivak

Editorial Reverté (1990)