Profesorado

Maria Jose Gonzalez Fuentes

Objetivos

- Conocer el concepto de medida positiva y sus principales propiedades.
- Construcción de una medida a partir de una medida exterior.
- Conocer los ejemplos más importantes de medidas positivas.
- Construcción de la integral de funciones simples.
- Integración de funciones reales o complejas.
- Conocer y saber utilizar los principales teoremas de convergencia.
- Conocer las propiedades básicas de las medidas signadas y complejas.
- Conocer el teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym y sus aplicaciones.
- Conocer las desigualdades de Hölder y Minkowski.
- Principales propiedades de los espacios de Lebesgue.
- Introducción a la dualidad en los espacios de Lebesgue.
- Conocer el teorema de representación de Riesz y sus aplicaciones.

Programa

Programa

1.- Medidas Positivas

El concepto de sigma -álgebra.
Construcción de sigma -álgebras no triviales
Funciones medibles.
Funciones simples
Medidas Positivas
Construcción de medidas: medida exterior}
Completación de un espacio de medida
Ejercicios

2.- Integración respecto de una medida.

Integración de funciones simples
La integral de una función medible
La integral de Funciones con valores reales
Integración de funciones con valores complejos.
Ejercicios

3.- Medidas signadas y complejas

Conceptos fundamentales.
Medidas signadas y complejas.
La variación total de una medida.
La variación total de una medida signada
La variación total de una medida compleja.
Continuidad absoluta de medidas
Singularidad de medidas
Espacios de medidas.
Ejercicios

4.- Espacios de Lebesque

Definición de los espacios de Lebesgue.
Las desigualdades de Hölder y de Minkowski.
Completitud de los espacios de Lebesgue.
Dualidad entre los espacios de Lebesgue.
Medidas finitamente aditivas de variación acotada.
El Teorema de Representación de Riesz
Ejercicios.

Metodología

- Explicación de la teoría.
- Resolución de problemas por parte del profesor.
- Resolución y posible exposición de problemas por parte de los alumnos.
- Dependiendo del numero de estudiantes, posibles exposiciones de temas
teóricos por parte de los alumnos
- Propuesta períodica de preblemas que el estudiante debe resolver en el aula.

Criterios y Sistemas de Evaluación

A los estudiantes que asistan regularmente a las horas de clases se les hara
una evaluación contínua basada en la resolución y entrega de problemas, así
como en controles parciales.
Si un estudiante no está de acuerdo con este metodo de evaluacion, podra optar
a examen en la fecha establecida por la Facultad de Ciencias.

Recursos Bibliográficos

Bibliografía básica:
Análisis Real y Complejo.
W. Rudin.
Alhambra.

Bibliografía Complementaria:
Measure Theory
D. L. Cohn
Birkhäuser (1980).

Teoría de la Medida.
Juan Luis Romero Romero.
Apuntes. Copistería Facultad de Ciencias.

Measure Theory
P.R. Halmos
Springer(1974).