Profesorado

Juan Ignacio García García

Situación

Prerrequisitos

En esta asignatura, el alumno debe manejar los conceptos básicos de Álgebra
Lineal y de Geometría Afín, que son fundamentales para el desarrollo del curso.

Contexto dentro de la titulación

Situada en el segundo cuatrimestre del segundo curso, troncal,  la asignatura
culmina una primera aproximación a la geometría, tras los cursos de Geometría
Euclídea (primer año) y Geometría Afín (primer cuatrimestre del segundo
curso).

La geometría proyectiva incluye en cierta medida la geometría afín, aspecto
que se enfatiza en el desarrollo del curso y que da una unidad clara a las dos
geometrías que el alumno ha de cursar en segundo.

El desarrollo del curso se basa en el álgebra lineal, que es la herramienta
imprescindible. Se señalan algo el enfoque axiomático, que entronca más con el
curso de Geometría Euclídea, pero no es el enfoque del curso que planteamos.

Por otra parte, algunos aspectos del curso (la relación entre espacio afín
y proyectivo) permiten conectarlo con la asignatura de Topología General (que
se desarrolla simultáneamente).

Recomendaciones

El alumno debe saber que ha de manejar con cierta soltura los conceptos básicos
de álgebra lineal: espacios vectoriales, subespacios, aplicaciones lineales,
así como el espacio dual y las formas bilineales y cuadráticas.

También debe conocer los conceptos básicos de Geometría Afín, incluyendo
espacios y subespacios afines, aplicaciones afines, cónicas y cuádricas.

Competencias

Competencias transversales/genéricas

Las competencias transversales que se desarrollan en este curso son:
capacidad de síntesis de lo estudiado en diversas materias, interrelacionando
los conceptos, comparándolos y diferenciándolos. También la capacidad de
enfrentarse con problemas, y el rigor en la exposición de las ideas.

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  El alumno debe conocer los espacios proyectivos, entender en qué
  medida éstos simplifican los problemas que se presentan en otras
  geometrías (geometría afín).
  
  Debe saber reconocer en esta geometría una buena aproximación a
  algunos de los problemas de la "realidad", que la hacen una
  herramienta úitl en diversas aplicaciones de las Matemáticas:
  robótica, ingeniería, física.

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  El alumno debe saber qué problemas geométricos elementales pueden
  ser abordardos con las técnicas de la geometría proyectiva, y debe
  saber resolverlos (en particular, debe ser capaz de expresarlos
  en términos de coordenadas homogéneas).

• Actitudinales:

  Los básicos de las matemáticas: tenacidad en el esfuerzo, rigor de
  pensamiento y capacidad de autocrítica del mismo. Singularmente,
  imaginación y creatividad.

Objetivos

Este curso complementa el curso de geometría euclídea y, muy especialmente,
el de geometría afín.

El alumno debe conocer la construcción de los espacios proyectivos,
entendiéndolos como completaciones de los espacios afines. También debe ser
capaz de manejar con soltura los subespacios, sus ecuaciones en coordenadas
homogéneas, así como las proyectividades y colineaciones. Debe de conocer la
clasificación afín y proyectiva de las homografías de dimensión baja, y la de
las cónicas y cuádricas.

Todo esto se hace con un uso sistemático del álgebra lineal, como herramienta
básica.

Programa

1. Espacios proyectivos. Subespacios. Dualidad.

2. Aplicaciones proyectivas.

3. Referencias proyectivas. Coordenadas homogéneas. Expresiones analíticas
de subespacios y de aplicaciones proyectivas.

4. Espacio proyectivo asociado a un espacio afín. Completaciones proyectivas
de subespacios y aplicaciones afines.

5. Razón doble de cuatro puntos. Razón doble de cuatro hiperplanos.

6. Clasificación de las homografías en dimensión baja.

7. Colineaciones y correlaciones.

8. Cuádricas proyectivas. Polaridad. Cónicas.

9. Clasificación de las cuádricas proyectivas y afines.

Metodología

Explicación de la Teoría, por parte del profesor, y resolución de problemas
propuestos. Se tratará de fomentar la participación activa de los estudiantes
en la resolución de los problemas.

Distribución de horas de trabajo del alumno/a

Nº de Horas (indicar total): 167,7

• Clases Teóricas: 32,0  
• Clases Prácticas: 20,0  
• Exposiciones y Seminarios: 0  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 3  
  • Individules: 2  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado: 8  
  • Sin presencia del profesorado:  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 66,7 + 30 = 96,7  
  • Preparación de Trabajo Personal: 2  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 2  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal): 0  

Técnicas Docentes

Criterios y Sistemas de Evaluación

El elemento básico de la evaluación es el Examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el Decanato de la Facultad. Se llevará
a cabo mediante le resolución de problemas teóricos y prácticos.

Recursos Bibliográficos

Bibliografía básica:

Montesdeoca Delgado, A.; Geometría Proyectiva. Cónicas y cuádricas.
Textos Universitarios, Tenerife, 2001.

Rodríguez-Sanjurjo, J. M. y Ruíz Sancho, J. M.,
Geometría Proyectiva. Addison-Wesley. 1998.

Santaló, L. A.,  Geometría Proyectiva,
EUDEBA, Buenos Aires, 1966.

Sernesi, E.; Geometria I,
Boringuieri, 1989.

Xambó, S.; Geometria,
Edicions UPC; Univ. Politécnica de Cataluña, 1997.



Bibliografía complementaria:

Frenkel, J. Géométrie pour l'éléve-professeur;
Hermann, 1973

Semple and Kneebone:
"Algebraic Projective Geometry". Oxford at the Clarendon House.

Sidler, J.C.; Géométrie Projective,
Intereditions, 1993.