Profesorado

José Javier Güemes Alzaga

Situación

Prerrequisitos

Son prerrequisitos para cursar la asignatura conocimientos básicos de
topología general y de teoría de grupos.

Contexto dentro de la titulación

Es una asignatura central dentro de la titulación. La asignatura fundamental
de contenido topológico más allá del lenguaje, técnicas y resultados básicos.
Junto con el análisis y el álgebra, son las herramientas imprescindibles de
las matemáticas y sus profundas aplicaciones a las ciencias.
Se cursa en cuarto año.

Recomendaciones

Es recomendable el dominio de las asignaturas de topología general, álgebra
lineal y teoría de grupos.

Competencias

Competencias transversales/genéricas

Capacidad de análisis y síntesis.
Capacidad de organización y planificación.
Capacidad de resolución de problemas.
Razonamiento crítico.
Aprendizaje autónomo.
Capacidad de valorar las propias competencias y limitaciones.
Conocimiento de lenguas extranjeras.
Adaptación a nuevas situaciones.
Capacidad de aplicar los conocimientos a resoluciones prácticas.
Habilidad para trabajar en equipo.
Capacidad de pensamiento creativo y de desarrollo de nuevas ideas y conceptos.

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  Conocimiento y uso de las definiciones de la topología básica
  (algebraica y geométrica) de forma rigurosa y precisa.
  Dominio y uso sistemático de las ideas, resultados y aplicaciones
  sobre la topología y sus invariantes.
  
  

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  Capacidad de demostrar de manera clara y justificada de los
  resultados que se precisen.
  Capacidad de presentar los problemas de forma clara y abstracta.
  Desarrollo de las capacidades de cálculo, análisis, síntesis y
  demostración.

• Actitudinales:

  Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las matemáticas.
  Ejemplificación de la aplicación de las matemáticas a otras
  disciplinas y problemas reales.
  Capacidad de mostrar la vertiente lúdica de las matemáticas.
  Expresión rigurosa y clara.
  Razonamiento lógico e identificación de errores en los
  procedimientos.
  Generación de curiosidad e interés por las matemáticas y sus
  aplicaciones.
  Capacidad de relacionar las matemáticas con otras disciplinas.
  Capacidad crítica.
  Capacidad de adaptación.
  Capacidad de abstracción.
  Pensamiento cuantitativo.
  
  

Objetivos

La topología algebraica que podemos denominar también topología geométrica o
simplemente topología forma junto con la a topología general un bagaje  básico
de conocimiento de cualquier matemático. Históricamente es anterior al
formalismo y abstracción  de la topología general pero sus herramientas y
comprensión son más fundamentales.

Los objetivos principales son:
Manejo y comprensión de las técnicas básicas y fundamentales de la topología
algebraica y de sus aplicaciones. Desarrollar los conceptos de homotopía y de
grupo fundamental, aplicándolos a la obtención de resultados clásicos. Dar una
introducción al estudio topológico de las variedades. Interrelacionar
distintas asignaturas de la licenciatura simplificando su exposición y
desarrollo.

Programa

Homología. Grafos. Triangulaciones. Símplices. Complejos de
poliedros. Característica de Euler-Poincaré. Clasificación de superficies.
Homología singular y axiomática. Mayer-Vietoris. Aplicaciones.

Homotopía y Grupo Fundamental. Homotopía de caminos y aplicaciones. Grupo
fundamental de un espacio. Teorema de Van Kampen. Ejemplos y Aplicaciones.

Espacios Recubridores. Recubrimientos. Espacios recubridores regulares y
espacios cociente. Espacio recubridor universal. Transformaciones recubridoras
y grupo fundamental. Teoría de Galois.

Actividades

Sesiones de teoría.
Sesiones de problemas supervisadas en grupo.
Exposición de trabajos.

Metodología

Fomentaremos la participación activa de los alumnos tanto en clase como en su
trabajo de la aignatura.

Motivaremos el estudio y la participación mediante problemas y trabajos que
permitan comprender la importancia de los temas y sus aplicaciones prácticas.

Distribución de horas de trabajo del alumno/a

Nº de Horas (indicar total): 160

• Clases Teóricas: 30  
• Clases Prácticas: 18  
• Exposiciones y Seminarios:  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 3  
  • Individules: 0  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado: 2  
  • Sin presencia del profesorado: 0  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 62,5  
  • Preparación de Trabajo Personal: 37,5  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 4  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal): 3  

Técnicas Docentes

Criterios y Sistemas de Evaluación

Existen dos formas de obtener una evaluación positiva de la asignatura.

La primera es mediante evaluación continuada que supone la participación activa
del alumno en las clases teórico prácticas, realización de controles aleatorios,
resolución de manera original e independiente de ejercicios y problemas escogidos
por el alumno o propuestos por el profesor, y la realización o exposición de
trabajos. Los alumnos deberán conservar registro escrito de las actividades
realizadas.

Los alumnos, que bien tengan evaluación continua negativa o que aun teniendo
evaluación continua positiva así lo deseen, podrán presentarse al examen final de
la asignatura en la fecha y lugar indicados por la Facultad de Ciencias.
El examen consiste en dos partes. Una teórica con un valor de hasta 4 puntos
sobre definiciones, proposiciones, teoremas, ejemplos y contraejemplos de la
materia de la asignatura. Otra parte práctica con un valor de hasta 6 puntos en
la que se evaluará la capacidad del alumno para afrontar tanto situaciones ya
conocidas (problemas propuestos en clase) como situaciones nuevas.


La superación de la asignatura deberá implicar:

Haber asimilado los conceptos fundamentales de los contenidos de la asignatura
y conocer los resultados fundamentales acerca de las relaciones entre los
conceptos matemáticos introducidos.
Haber adquirido las habilidades necesarias en la resolución de problemas
topológicos  y algebraicos.
Estar capacitado para reconocer, plantear, formular y resolver situaciones y
problemas prácticos de carácter científico, tecnológico o de otros ámbitos,
que puedan adecuarse al tratamiento de la topología.

Recursos Bibliográficos

Artin, E. Braun, H.: Introduction to Algebraic Topology. Charles E. Merrill
Pub. Co.

Greenberg, M.J., Harper, J.R.: Algebraic Topology. A first course. Addison-
Wesley.

Massey, Algebraic Topology: An Introduction. Harcourt.

Munkres, J.R.: Elements of Algebraic Topology. Addison-Wesley.