Profesorado

Juan Ignacio García García.

Situación

Prerrequisitos

Álgebra Lineal, Geometría Afín y Análisis de funciones de varias variables.

Contexto dentro de la titulación

Situada en el segundo cuatrimestre del tercer curso, troncal,  la asignatura
culmina otra aproximación a la geometría, tras los cursos de Geometría
Euclídea (primer año), Geometría Afín (primer cuatrimestre del segundo
curso) y Geometría Proyectiva (segundo cuatrimestre del segundo curso).

La geometría diferencial utiliza el cálculo diferencial en varias variables para
definir y estudiar los conceptos de curva y superficie
regular, y de curva y superficie parametrizada.

Recomendaciones

Se recomienda no cursar la asignatura sin tener aprobadas las asignatura
indicadas en el apartado "Prerequistos" y en cualquier caso tener presente que
es posible que un repaso a ciertos aspectos arriba indicados en determinados
momentos del programa (se comenta en clase) podrían ser de gran ayuda para
entender la asignatura.

Competencias

Competencias transversales/genéricas

Las competencias transversales que se desarrollan en este curso son:
capacidad de síntesis de lo estudiado en diversas materias, interrelacionando
los conceptos, comparándolos y diferenciándolos. También la capacidad de
enfrentarse con problemas, y el rigor en la exposición de las ideas.

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  El alumno debe conocer los conceptos de curva y superficie
  parametrizada y regular.
  
  Debe saber reconocer en esta geometría una buena aproximación a
  algunos de los problemas de la "realidad", que la hacen una
  herramienta úitl en diversas aplicaciones de las Matemáticas:
  robótica, ingeniería, física.

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  El alumno debe saber qué problemas geométricos pueden
  ser abordardos con las técnicas de la geometría deferencial, y debe
  saber resolverlos.

• Actitudinales:

  Los básicos de las matemáticas: tenacidad en el esfuerzo, rigor de
  pensamiento y capacidad de autocrítica del mismo. Singularmente,
  imaginación y creatividad.

Objetivos

Que los alumnos, apoyándose en su conocimiento del cálculo diferencial e
integral en varias variables (Análisis Vectorial)
manejen, entendiéndolas en profundidad, las definiciones de curva y superficie
regular, y de curva y superficie parametrizada.

Por lo que se refiere a la teoría de curvas, que los alumnos asimilen el
significado del teorema fundamental: curvatura y
torsión determinan la curva, salvo movimiento rígido en el  espacio.

En cuanto a la teoría de superficies, que manejen con soltura las nociones
de plano tangente, aplicación diferenciable
y diferencial de una aplicación definida en una superficie.

Que los alumnos entiendan que las propiedades métricas de la superficie
quedan determinadas por su primera forma fundamental;
son pues intrínsecas.

Que sepan trabajar con la aplicación de Gauss, entendiendo así las nociones
de curvatura principal, Gaussiana y media.

Que los alumnos entiendan que la curvatura Gaussiana es intrínseca, así
como el contenido geométrico del teorema fundamental de la teoría de
superficies (análogo al de curvas).

Que comprendan la noción de derivada covariante, y en particular entiendan
las propiedades de las curvas geodésicas.

Que los alumnos entiendan el significado y algunas consecuencias del
teorema de Gauss-Bonnet.

Programa

Teoría local de curvas en el espacio euclídeo

tema1.- Definiciones básicas. Curvas regulares.
tema2.- Parametrización por la longitud de arco.
tema3.- Curvatura y torsión.
tema4.- El triedro de Frenet como sistema de referencia. Teorema fundamental.


Teoría local de superficies en el espacio euclídeo

tema5.- Superficies regulares. Parametrización local y superficies implícitas.
Ejemplos:
superficies de revolución, regladas, gráficas de funciones...
tema6.-  El plano tangente en un punto. Primera forma fundamental.
tema7.- Integración: longitud y área.
tema8.- Aplicación de Gauss. Segunda forma fundamental.
tema9.- Curvaturas: la curvatura de Gauss y la curvatura media.
tema10.- Líneas de curvatura y asintóticas.
tema11.- Símbolos de Christoffel. Ecuaciones de Weingarten.  Ecuaciones de
Mainardi-Codazzi. Teorema Egregio de Gauss.
tema12.- Geometría intrínseca local de superficies. Campos vectoriales sobre una
superficie: derivada covariante. Transporte
paralelo. Geodésicas.
tema13.- Teorema de Gauss-Bonnet.

Temas complementarios del programa
(se desarrollarán si se dispone de tiempo tras cubrir el programa mínimo)

-- Introducción a la geometría global:
---  Geometría global de curvas planas: desigualdad isoperimétrica.
Teorema de los cuatro vértices. Fórmula de Cauchy-Crofton.
---  Geometría global de las superficies. Rigidez de la esfera.
Superficies completas: Teorema de Hopf-Rinow y primera fórmula de variación.

Metodología

Las clases teóricas serán de tipo magistral, si bien se sigue un texto base
(libro de Do Carmo citado en las referencias).
En las clases prácticas se tratará de que los alumnos participen de modo activo
en la resolución de los problemas que se les vayan planteando.

Distribución de horas de trabajo del alumno/a

Nº de Horas (indicar total): 205

• Clases Teóricas: 60  
• Clases Prácticas: 30  
• Exposiciones y Seminarios: 5  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 3  
  • Individules: 2  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado: 5  
  • Sin presencia del profesorado: 0  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 86  
  • Preparación de Trabajo Personal: 10  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 2  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal):  

Técnicas Docentes

Criterios y Sistemas de Evaluación

El elemento básico de la evaluación es el Examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el Decanato de la Facultad. Se llevará
a cabo mediante le resolución de problemas teóricos y prácticos.

Recursos Bibliográficos

Bibliografía básica
-- Do Carmo, M.P. . ``Geometría diferencial de curvas y superficies". Alianza
Universidad Textos, 1990.

-- Costa, A.F.; Gamboa, J.M.; Porto, A. ``Notas de Geometría Diferencial de
curvas y superficies". Editorial Sanz y Torres, 1997.

-- Costa, A.F.; Gamboa, J.M.; Porto, A. ``Ejercicios de Geometría Diferencial
de curvas y superficies". Editorial Sanz y Torres, 1998.

-- Montiel, S.; Ros, A. ``Curvas y superficies". Proyecto Sur Ediciones, 1997.



Bibliografía complementaria

--  Cordero, L.A.; Fernández, M.; Gray, A. ``Geometría diferencial de curvas y
superficies con Mathematica". Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.

-- Klingenberg, W. ``Curso de Geometría diferencial". Alianza, 1978.

-- Oprea, J. ``Differential Geometry and its applications". Prentice Hall
Inc., 1997.

-- Pogori'elov, A.V. ``Geometría Diferencial", Moscú 1994.

-- Struik, D. ``Geometría Diferencial clásica". Editorial Aguilar, 1970.