Profesorado

Francisco Ortegón Gallego

Situación

Prerrequisitos

Es conveniente tener aprobadas las asignaturas
Análisis de funciones de varias variables,
Análisis vectorial y Ecuaciones diferenciales

Contexto dentro de la titulación

La asignatura se imparte en el curso cuarto de la titulación de Matemáticas.
Es la continuación natural de la asignatura de Ecuaciones diferenciales.

Recomendaciones

Además de cumplir los prerrequisitos, se recomienda que el alumno repase los
temas de álgebra lineal (diagonalización de matrices y formas canónicas de
Jordan), de análisis (convergencia puntual, convergencia uniforme de funciones,
integración, teorema de la convergencia dominada, etc.).

Competencias

Competencias transversales/genéricas

Capacidad de análisis y síntesis.
Resolución de problemas.
Trabajo en un equipo de carácter interdisciplinar
Adaptación a nuevas situaciones.
Aprendizaje autónomo.
Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica.

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  Conocimientos generales básicos.
  Poseer conocimientos sobre la estabilidad de las soluciones de las
  ecuaciones diferenciales ordinarias.
  Aplicar los principales métodos para resolver ecuaciones en
  derivadas parciales y conocer algunos
  resultados sobre existencia y unicidad de solución.
  Clasificar una ecuación en derivadas parciales de orden dos lineal
  dos variables independientes, y transformarla a su forma canónica.
  Distinguir entre los fenómenos físicos gobernados por la ecuación
  del calor y la de ondas.
  Aplicar el método de separación de variables.

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  Resolución de algunas ecuaciones en derivadas parciales mediante
  técnicas analíticas.
  Interpretación de la expresión de la solución de una ecuación en
  derivadas parciales y consecuencias que se derivan.
  Usar el método de separación de variables.
  

• Actitudinales:

  Capacidad de abstracción.
  Capacidad de crítica.
  Razonamiento lógico e identificación de errores en los
  procedimientos.
  Expresión rigurosa y clara.
  Capacidad de adaptación.
  Generación de curiosidad e interés por las matemáticas y sus
  aplicaciones.
  Capacidad de relacionar las matemáticas con otras disciplinas.
  Ejemplificación de la aplicación de las matemáticas a otras
  disciplinas y problemas reales.

Objetivos

Clasificar los puntos de equilibrio de sistemas de ecuaciones diferenciales,
ordinarias y lineales. Analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio por
diversos procedimientos. Analizar la existencia o no de soluciones periódicas
para sistemas de dos ecuaciones diferenciales.
Conocer el concepto de ecuación en derivadas parciales y reconocer en algunos
casos su origen y utilidad.
Aplicar alguna técnica de resolución para ciertos problemas gobernados por
ecuaciones en derivadas parciales.
Clasificar una ecuación en derivadas parciales, lineal y de segundo orden.
Distinguir cuáles son las condiciones iniciales y/o de contorno necesarias
para que un problema de este tipo esté bien planteado.
Interpretar la expresión de las soluciones de las ecuaciones del calor, de
ondas y de Poisson.

Programa

1. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias:
Estabilidad según Liapunov. Puntos de equilibrio.
Clasificación de los puntos de equilibrio de los sistemas autónomos de dos
ecuaciones. Estabilidad en los sistemas no lineales. Función de Liapunov.
Estabilidad por linealización. El teorema de Poincaré. El teorema de
Hartman-Grossman Soluciones periódicas: ciclos y ciclos límites.
Los teoremas de Poincaré, Bendixson y de Poincaré-Bendixson.

2. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales:
La noción de ecuación en derivadas parciales. Orden de una ecuación en
derivadas parciales. Ejemplos: la ecuación de transporte, la ecuación de Euler,
las ecuaciones del calor y de ondas, la ecuación de Laplace.

3. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden:
Origen de las ecuaciones de primer orden. Clasificación de las ecuaciones de
primer orden. Tipos de soluciones: integral completa, integral general,
integral singular, integral especial. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de
Pfaff. Factor integrante. Sistemas compatibles y método de Charpit. El problema
de Cauchy.

4. Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden:
Ecuaciones de segundo orden con dos variables independientes. Formas
canónicas. Curvas características. Clasificación. Ecuaciones con coeficientes
constantes.

5. Las ecuación de ondas:
La ecuación de ondas en dimensión uno. Fórmula de d'Alembert. La ecuación de
ondas en dimensión tres. La ecuación de ondas en dimensión dos. Método de
descenso de Hadamard. El principio de Huygens. El problema de la cuerda
vibrante. El método de separación de variables.

6. La ecuación del calor:
Solución fundamental de la ecuación del calor.
Principio del máximo. Unicidad de solución.

7. Las ecuaciones de Laplace y Poisson:
Identidades de Green. Solución fundamental. La función de Green. El problema
de Dirichlet para el laplaciano. Fórmula integral de Poisson. Propiedades de
las funciones armónicas. Principios del máximo débil y fuerte. El problema de
Dirichlet para la ecuación de Poisson. Potencial newtoniano.

8. El enfoque variacional:
Formulación variacional de la ecuación de Poisson.
Los espacios de Sobolev H^1 y H^1_0. El teorema de Lax-Milgram.
Resolución de problemas elípticos más generales.

Metodología

La asignatura se imparte mediante la técnica de las clases magistrales.
Se hará uso de medios audiovisuales, como el cañón de video. En el aula virtual
se colocarán diversos materiales que servirán de soporte adicional a la
asignatura.

Distribución de horas de trabajo del alumno/a

Nº de Horas (indicar total): 225

• Clases Teóricas: 40  
• Clases Prácticas: 40  
• Exposiciones y Seminarios: 5  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 3  
  • Individules: 2  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado: 10  
  • Sin presencia del profesorado: 10  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 95  
  • Preparación de Trabajo Personal: 17  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 3  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal):  

Técnicas Docentes

Apoyo con el aula virtual.
Presentaciones con el cañón de video.

Criterios y Sistemas de Evaluación

El elemento básico de la evaluación es el examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el decanato de la facultad. Consiste en
una prueba escrita con una duración aproximada de tres horas o tres horas y
media, y en la que el alumno deberá resolver varios problemas propuestos.
Habitualmente, los problemas estarán divididos en apartados. Se podrá
preguntar un resultado demostrado en clase, o una situación nueva en la que el
alumno deberá mostrar su grado de destreza y conocimientos adquiridos.

Por otro lado, la participación activa del alumno también se tendrá en cuenta
en su evaluación final. Esta participación puede darse de varias formas:
intervención en clase, desarrollo de algún tema de ampliación, etc.

Recursos Bibliográficos

Bibliografía básica

T. Amaranath, An Elementary Course in Partial Differential Equations,
Alpha Science, 2003.

William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problems. Wiley International Edition, 2005.

Eduardo Casas Rentería, Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales,
Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cantabria, Santander, 1992.

Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations. Graduate Studies in
Mathematics, Vol. 19, AMS, Providence, 1998.

Richard Haberman, Ecuaciones en derivadas parciales, con series de Fourier y
problemas de contorno. Prentice Hall, Pearson Educación, Madrid, 2003.

Fritz John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982.

A. Kiseliov, M. Krasnov, G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias, Editorial Mir, Moscú, 1979.

Prem K. Kythe, Pratap Puri, Michael R. Schäferkotter, Partial Differential
Equations and Mathematica, CRC Press, 1997.

J. David Logan, Applied Partial Differential Equations, Springer, 1998.

A. Martin, Équations aux dérivées partielles. Exercices résolus, Dunod
Université, Paris, 1991.

Tyn Mynt-U, Partial Differential Equations of Mathematical Physics,
North-Holland, 1980.

Peter V. O'Neil, Beginning Partial Differential Equations,
Wiley, 2008

Peter V. O'Neil, Solutions Manual to Accompany Beginning Partial Differential
Equations,
Wiley, 2008

Ireneo Peral Alonso, Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales,
Addison Wesley/Universidad Autónoma de Madrid, 1995.

Yehuda Pinchover, Jacob Rubinstein, An introduction to Partial Differential
Equations, Cambridge Universty Press, Cambridge, 2005.

George F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales, con aplicaciones y notas
históricas, McGraw-Hill, Madrid, 1993.

Ioannis P. Stavroulakis, Stepan A. Tersian, Partial Differential Equations: An
introduction with Mathematica and MAPLE. World Scientific, New Jersey, 2004.

Walter A. Strauss, Partial Differential Equations: An Introduction, John Wiley
& Sons, 1992.