Profesorado

Enrique Pardo Espino

Situación

Prerrequisitos

El plan de Estudios no establece prerrequisito alguno para cursar esta asignatura.

Contexto dentro de la titulación

Es una asignatura obligatoria del segundo ciclo de la titulación. En ella los
estudiantes adquieren los conocimientos básicos de anillos, módulos y cuerpos
necesarios para el resto de su formación.  Desde el punto de vista de la
formación, los alumnos cimentan sus habilidades de resolución de problemas
abstractos en un contexto que los prepara para la completación de su formación
en Álgebra y Geometría

Recomendaciones

Debería tener aprobada las asignaturas de las áreas de Álgebra y Geometría del
primer ciclo. Asimismo es recomendable claridad de ideas en las materias de
Análisis matemático. Su conocimiento es requisito para seguir las asignaturas de
"Álgebra conmutativa", "Álgebra computacional" y "Estructuras Algebraicas", y
ayuda en la asignatura de
"Geometría algebraica".

Competencias

Competencias transversales/genéricas

INSTRUMENTALES: Análisis y síntesis, gestión de la información, resolución de
problemas, toma de decisiones, estructuración, pensamiento abstracto y uso del
lenguaje.

PERSONALES: Razonamiento crítico.

SISTÉMICAS: Aprendizaje autónomo, adaptación a nuevas situaciones, habilidad
para el trabajo autónomo, creatividad, iniciativa y espíritu emprendedor,
motivación para la calidad.

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  1. Conocer los Teoremas de Isomorfía.
  2. Conocer los anillos de polinomios sobre coeficientes arbitrarios.
  3. Conocer las familias distinguidas de dominios.
  4. Conocer las condiciones de cadena.
  5. Conocer el Teorema de la Base de Hilbert y el Teorema de Estructura
  de anillos artinianos.
  
  

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  Creación de modelos matemáticos para situaciones reales, visualización
  e interpretación de soluciones, identificación y localización de
  errores lógicos, argumentación lógica en la toma de decisiones,
  demostración de resultados matemáticos.
  

• Actitudinales:

  Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las Matemáticas,
  expresión rigurosa y clara, razonamiento lógico e identificación de
  errores en los procedimientos, capacidad de crítica, adaptación y
  abstracción, pensamiento cuantitativo, capacidad de planificación y
  organización.
  
  

Objetivos

1. Comprender la noción de anillo, ideal y cociente, así como la de morfismo de
anillo. Dominar los ejemplos elementales.
2. Conocer las clases distinguidas de dominios.
3. Comprender las operaciones con polinomios y las diferencias entre el caso en
que el anillo de coeficientes sea dominio y el caso general.
4. Entender la noción de condición de cadena para un conjunto ordenado.
5. Conocer las propiedades básicas de los anillos notherianos.
6. Conocer y comprender el Teorema de Estructura de anillos artinianos.

Programa

1. Nociones básicas:
Anillos y subanillos.
Ideales y anillos cocientes.
Operaciones con ideales.
Morfismos de anillos.
Elementos e ideales especiales.
Cuerpo de fracciones de un dominio.
Ideales radicales. Ideales comaximales.

2. Dominios de integridad:
Divisibilidad en dominios.
Dominios euclídeos.
Dominios de ideales principales.
Dominios de factorización única.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Anillos de polinomios.
Factorización de polinomios.
Teorema fundamental del álgebra.
Irreducibilidad de polinomios.
Criterios en característica cero.
Criterios en característica positiva.

3. Condiciones de cadena:
Breve introducción a módulos.
Condiciones acc y dcc.
Anillos noetherianos. Teorema de la Base de Hilbert.
Anillos artinianos. Teorema de Estructura.

Actividades

- Sesiones de teoría mediante grupos de discusión.
- Sesiones de problemas supervisadas en grupo.

Metodología

El desarrollo del curso se divide en temas. Cada tema teórico se realiza en un
solo bloque, iniciándose con un análisis previo (mediante guión) en que los
alumnos se familiarizan con los items básicos del tema antes de formalizarlos en
clases teóricas, más una sesión de síntesis del tema; el profesor intentará
recabar la colaboración activa del alumno con preguntas y propuestas para pensar.
A continuación se realizan sesiones de resolución de problemas asistidas por el
profesor, en que se conjuga el trabajo individual y en grupo, que permiten
comprender los matices de los resultados estudiados. Durante las mismas se
incentiva el uso de material bibliográfico adicional. El profesor supervisa el
trabajo individual y/o colectivo, haciendo propuestas o sugerencias a las
preguntas de los alumnos. Al final del Tema 1 se iniciará una Actividad
Académicamente Dirigida, consistente en el análisis de problemas sobre anillos de
polinomios en múltiples
variables; esta actividad complementará el estudio del Tema 2, y la Memoria de
resolución se entregará al final de la penúltima semana lectiva.

Distribución de horas de trabajo del alumno/a

Nº de Horas (indicar total): 160

• Clases Teóricas: 30  
• Clases Prácticas: 18  
• Exposiciones y Seminarios: 0  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 3  
  • Individules: 0  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado: 2  
  • Sin presencia del profesorado: 0  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 62.5  
  • Preparación de Trabajo Personal: 37.5  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: 5  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal): 3  

Técnicas Docentes

Trabajo en grupos reducidos.

Sesiones de problemas individuales y en grupos, supervisadas
por el profesor.

Criterios y Sistemas de Evaluación

El procedimiento de evaluación concede al examen teórico-práctico final un 70% de
la calificación. El 30% restante se obtiene mediante:
1. Exámenes de problemas, consistentes en la entrega de un ejercicio (ajeno a las
relaciones de problemas), en una evaluación que se realizará de manera aleatoria
3-4 veces en el curso.
2. Entrega de un problema de cada una de las relaciones, asignado al principio de
cada tema.
3. Entrega de demostraciones escritas a diversas preguntas que se programarán a
lo largo de las sesiones teóricas.
4. Memoria de la Actividad Académicamente Dirigida.
5. Iniciativa y participación en las clases y actividades académicamente
dirigidas.

El criterio para evaluar se basa en:
1. Capacidad de resolución de problemas.
2. Conocimiento de la materia y su aplicación a la resolución de problemas.
3. Capacidad de formalización.
4. Participación en las clases teórico-prácticas.
5  Entrega de material.


La superación de la asignatura supone:

A) Haber adquirido los conceptos fundamentales acerca de los contenidos de la
asignatura. y conocer los resultados fundamentales acerca de las relaciones entre
los conceptos matemáticos introducidos. Concretamente:
1. Comprender la noción de anillo, ideal y cociente, así como la de morfismo de
anillo. Dominar los ejemplos elementales.
2. Conocer las clases distinguidas de dominios.
3. Comprender las operaciones con polinomios y las diferencias entre el caso de
que el anillo de coeficientes sea dominio y el caso general.
4. Entender las condiciones de cadena. Conocer ejemplos distintivos.
5. Conocer las propiedades básicas de los anillos neotherianos.
6. Comprender el Teorema de la Base de Hilbert y sus aplicaciones.
7. Distinguir entre anillos noetherianos y artinianos.
8. Comprender el Teorema de Estructura de anillos artinianos.

B) Deberá, además, haber adquirido las siguientes destrezas:

1. Operar con ejemplos elementales de anillos: enteros, enteros módulo n, anillos
de polinomios, y cocientes de todos ellos. Calcular el núcleo y la imagen de un
morfismo.
2. Calcular de manera efectiva el máximo común divisor y la identidad de Bézout
en dominios euclídeos.
3. Conocer los criterios de Einsenstein y Berlekamp, y aplicarlos determinar la
irreducibilidad de polinomios de 1 y 2 variables.
4. Decidir si un anillo es noetheriano, en casos sencillos.
5. Decidir si un anillo noetheriano es artiniano, en casos sencillos.
6. Encontrar la descomposición de un anillo artiniano en producto de artinianos
locales, en ejemplos sencillos.

Recursos Bibliográficos

P. M. Cohn, "Algebra", vol 1 y 2, John Wiley, 1973.
S. Lang, "Algebra", Aguilar, 1971.
T. W. Hungerford, "Algebra", GTM 73, Springer, 1974.
Bujalance, Etayo, Gamboa, “Anillos y Cuerpos”, Manuales de la UNED.
M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, "Introducción al Algebra Conmutativa", Ed.
Reverté, 1980.
T. Sánchez Giralda, "Algebra conmutativa y homológica I", Publ. Universidad de
Valladolid, 1996.