Profesorado

Francisco Benítez Trujillo

Situación

Prerrequisitos

El Plan de Estudios no establece ningún prerrequisito para poder cursar esta
asignatura.

Contexto dentro de la titulación

La introducción al análisis matemático constituye el fundamento indispensable
para el posterior estudio de las distintas materias, entre otras muchas
razones, porque en ella se estudia el conjunto de los números de los reales,
su manejo y sus propiedades.

Recomendaciones

-

Competencias

Competencias transversales/genéricas

Capacidad de análisis y síntesis
Comunicación oral y escrita
Resolución de problemas

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  Conocer las propiedades algebraicas y de orden de los  números
  reales y sus subconjuntos: naturales, enteros, racionales e
  irracionales.
  
  Conocer la propiedad de completitud de los números reales (el
  principio del supremo), conjuntos
  acotados: supremo e ínfimo, máximo y mínimo, intervalos y el
  Principio de los intervalos encajados.
  
  Conocer el concepto de funciones enteras (potenciación) y
  algebraicas (radicación), exponenciales y logarítmicas así como las
  trigonométricas y sus inversas. Sus dominios, recorridos y gráficas.
  
  Conocer los conceptos de funciones monótonas y funciones acotadas:
  máximos y mínimos, inyectividad, composición de funciones y función
  inversa.
  
  Conocer los conceptos de sucesión, Progresiones aritméticas,
  geométricas y aritmético geométrica, sucesiones monótonas y
  sucesiones acotadas.
  
  Conocer el origen y definición del número e.
  
  Conocer los conceptos de sucesión convergente, así como sus
  propiedades,  y sucesión divergente.
  
  Conocer los conceptos de condición de Cauchy, subsucesiones,
  límites de oscilación, límites superior e inferior, así como los
  principales resultados relacionado como el teorema de Bolzano-
  Weierstrass.
  
  Conocer los conceptos de límite de funciones, límites laterales,
  límites infinitos y en el infinito, asíntotas, infinitos e
  infinitésimos, su orden y equivalencias.
  
  Conocer técnicas básicas del cálculo de límites de sucesiones y
  funciones.
  
  Conocer el concepto de continuidad y resultados fundamentales.

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  Manejar con soltura desigualdades y acotación de conjuntos, en
  expresiones en las que intervengan funciones elementales y, en
  particular, valor absoluto.
  
  Saber probar propiedades de números reales usando las técnicas
  básicas de demostración (contrarrecíproco, reducción al absurdo,
  método de inducción, ...)
  
  Saber resolver ecuaciones e inecuaciones algebraicas o trascendentes
  (exponenciales, logarítmicas y trigonométricas)
  
  Operar con soltura con números reales, con expresiones algebraicas o
  trascendentes y con números complejos.
  
  Encontrar términos generales de determinadas sucesiones (polinómicas
  o exponenciales), así como su suma.
  
  Realizar cálculos de límites de sucesiones mediante técnicas básicas
  y mediante el uso de la regla de Stolz o sus consecuencias.
  
  Determinar monotonía, convergencia y acotación de sucesiones que
  vienen dadas por un término general o por recurrencia.
  
  Realizar cálculos de límites de funciones.
  
  Cálculos de expresiones de la funciones inversas de otras dadas,
  después de estudiar su inyectividad y/o monotonía.
  
  Calcular con soltura derivadas y primitivas.

• Actitudinales:

  Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las matemáticas
  Capacidad de mostrar la vertiente lúdica de las matemáticas
  Expresión rigurosa y clara
  Razonamiento lógico e identificación de errores en los procedimientos
  Generación de curiosidad e interés por las matemáticas
  Capacidad de crítica
  Capacidad de abstracción
  

Objetivos

Conocer y saber aplicar con soltura las propiedades de los números reales, de
las sucesiones y de las funciones.
Manejar con soltura los conceptos de convergencia y saber aplicarlo en
distintas situaciones.
Conocer las técnicas del cálculo de límites de sucesiones y de funciones.
Manejar con soltura el concepto de continuidad de una función en un punto y en
un intervalo así como los resultados que se derivan.

Programa

1.- Conjuntos y proposiciones.
Conjuntos. Proposiciones. Negación de proposiciones. Implicaciones. Subconjuntos
y condiciones. Implicaciones recíprocas y contrarrecíprocas. Unión de conjuntos.
Intersección de conjuntos. Diferencia de conjuntos. Teoremas y demostraciones.

2.- Números reales.
Propiedades algebraicas. Propiedades de orden de los números reales. Números
naturales,  números enteros y números racionales. Valor absoluto de un número
real.

3.- Propiedad de completitud.
Conjuntos acotados: principio del supremo. La propiedad arquimediana y sus
consecuencias. Buen orden de los números reales: parte entera de un número real.
Principio de los intervalos encajados. Representación decimal de los números
reales.

4.- Funciones algebraicas I.
Potenciación. Radicación. Funciones: concepto y generalidades. Gráficas.
Operaciones con funciones. Funciones enteras o polinómicas. Funciones
racionales.

5.- Funciones algebraicas II.
Composición de funciones. Función inversa. Funciones monótonas y acotadas.
Ecuaciones e inecuaciones. Igualdades y desigualdades notables.

6.- Sucesiones.
Concepto de sucesión. Progresiones aritméticas. Progresiones geométricas.
Progresiones aritmético-geométricas. Sucesiones cuyo término general es
polinómico.

7.- Sucesiones convergentes.
Convergencia. Sucesiones que tienden a cero. Álgebra de límites. Límites
infinitos. Sucesiones monótonas. Imagen de una sucesión mediante funciones
reales: funciones continuas.

8.- Funciones exponenciales y logarítmicas.
El número e. Exponencial de un número real. Funciones exponenciales. Logaritmo
de
un número real. Funciones logarítmicas.

9.- Números complejos y funciones trigonométricas.
Conjunto de los números complejos. Las razones trigonométricas. Forma
trigonométrica y forma polar de un número complejo. Funciones trigonométricas.

10.- Cálculo de límites de sucesiones.
Cálculo mediante transformaciones y acotaciones. Límites con exponenciales.
Regla
de Stolz. Infinitos e infinitésimos: equivalencias. Sucesiones recurrentes:
estudio de la monotonía, acotación y convergencia.

11.- Subsucesiones.
Subsucesiones: teorema de Bolzano-Weierstrass. Sucesiones de Cauchy. Límites de
oscilación.

12.- Límite de funciones.
Límite de una función en un punto. Límites laterales. Límites infinitos y en el
infinito. Cálculo de límites.

Metodología

No existen clases para esta asignatura.

Distribución de horas de trabajo del alumno/a

Nº de Horas (indicar total): 75

• Clases Teóricas: 30  
• Clases Prácticas: 45  
• Exposiciones y Seminarios:  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas:  
  • Individules:  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesorado:  
  • Sin presencia del profesorado:  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio:  
  • Preparación de Trabajo Personal:  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito:  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal):  

Técnicas Docentes

Criterios y Sistemas de Evaluación

La evaluación se realizará mediante examen consistente en resolución de
problemas y demostraciones de resultados
complementarios.

Para la calificación de los ejercicios, a parte del resultado, se obtendrá
mayor o menor valoración según que:
1.- desarrolle o no los ejercicios de forma clara y con orden, detallando los
pasos que va dando.
2.- demuestre o no que tiene idea de la mayoría de las técnicas y conceptos
involucrados en el examen.
3.- razone o no de forma correcta.
4.- cometa o no errores de concepto.

Recursos Bibliográficos

Los alumnos dispondrán de los contenidos desarrollados en apuntes para la
asignatura así como otra información bibliográfica en el campus virtual de la
Universidad de Cádiz.