Profesorado

Antonio J. Calderón Martín (teoría) y Juan Ignacio García García
(prácticas).

Objetivos

Estudio y desarrollo de la geometría y topología de variedades.

Dotar de fundamentos de análisis global comunes a la licenciatura.

Introducir de forma intrínseca variedades o sistemas multidimensionales no
lineales.

Programa

- Tema 1. Variedades diferenciables y Aplicaciones
Diferenciables:
Introducción. Variedades diferenciables. Ejemplos. Propiedades
Básicas. Aplicaciones Diferenciables. Rango de una Aplicación
Diferenciable. Teorema del Rango. Inmersiones. Subvariedades.
Subvariedades Regulares. Difeomorfismos locales. Submersiones.

-  Tema 2.  Existencia de Particiones de la Unidad.
Teoremas de Witney y Sard:
Familias localmente finitas. Teorema de Existencia de Particiones
de la Unidad. Teorema de Witney. Teorema de Sard.

-  Tema 3.  El espacio Tangente. Fibrado Tangente:
Espacio Tengente a una variedad en un punto. El espacio vectorial
T_p(M).  Interpretación del espacio tengente en un punto. La
diferencial de una aplicación diferenciable. El fibrado tangente.

- Tema 4.  Campos de Vectores. El Corchete de Lie:
Campos de Vectores.  El módulo de los campos de vectores. La
acción de  X(A)  sobre  C(A). El corchete
de Lie de dos campos de vectores. El álgebra de Lie de los campos
de vectores.

- Tema 5. Distribuciones:
Distribuciones. Distribuciones diferenciables. Distribuciones
involutivas. Teorema de Frobenious.

- Tema 6.  Grupos y Álgebras de Lie:
Grupos de Lie. Ejemplos. Álgebras de Lie, definición y ejemplos. El
álgebra de
Lie de un grupo de Lie. Ejemplos de álgebras de Lie asociadas a grupos de
Lie.
Teorema de Cartan.  Teoría de estructura de las álgebras de Lie finito
dimensionales.


- Tema 7. Fibrado de los tensores de tipo (r,s) sobre una variedad
diferenciable. Métricas Rienmanianas:
El producto tensorial. Fibrado tensorial. Propiedades. Formas
diferenciales.
Métricas Rienmanianas. Ejemplos. Teorema de existencia de métricas
Rienmanianas.

Metodología

Explicación de la teoría y resolucíon de problemas preopuestos.

Criterios y Sistemas de Evaluación

El elemento básico de la evaluación es el Examen de la asignatura en la
convocatoria oficial establecida por el Decanato de la Facultad. Consiste
en
una prueba escrita con una duración aproximada de 4 horas  y en la que el
alumno deberá responder a dos tipos de contenidos: en el primero se
considerarán aspectos teóricos de la asignatura (incluyendo la
demostración de
ciertos teoremas destacados), esta parte constará de dos o tres
preguntas; y
en  el segundo se plantearán problemas a resolver (tres problemas).

Finalmente, se valorará la buena disposición en clase y, especialmente, la
participación activa en la resolución de problemas.

La superación de la asignatura supone haber adquirido los conceptos
fundamentales acerca de los contenidos de la asignatura y tener soltura en
la
resolución de problemas tipo.

Recursos Bibliográficos

R. Abraham & J.E. Marsden & T. Ratiu ``Manifolds, Tensor Analysis, and
Applications``, Addison-Wesley.

W. M. Boothby, ``An Introduction to Differentiable Manifolds and
Riemannian
Geometry``, Academic Press.

N. J. Hicks, ``Notes on Differential Geometry``, Van Nostrand.

M. Spivak ``Differential Geometry``, Volume I-V, Ed. Publish or Perish.

F. Warner, ``Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups``,
Springer
Verlag.