Profesorado

Elena Medina Reus

Situación

Prerrequisitos

Análisis de una y varias variables. Ecuaciones diferenciales
ordinarias y Ecuaciones en derivadas parciales.
Manejo del programa Mathematica.

Contexto dentro de la titulación

Asignatura optativa. Se aplican técnicas desarrolladas en las
asignaturas indicadas en el apartado "prerequisitos"

Recomendaciones

No cursar la asignatura sin haber cursado las asignaturas citadas
anteriormente, y tenerlas en su mayor parte aprobadas.
La falta de soltura en el manejo de programa Mathematica no es un
impedimento para cursar la asignatura, pero en este caso será
necesario dedicar mayor número de horas a la parte práctica de la
asignatura.

Competencias

Competencias transversales/genéricas

Ser capaz de analizar un sistema concreto en ciencias experimentales,
haciendo uso de un modelo matemático.

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  * Ser capaz de formular un modelo matemático que describa un sistema
  en ciencias experimentales.
  
  * Saber extraer información del modelo matemático para entender un
  sistema en ciencias experimentales, o para saber cómo manipularlo
  para que proporciones los resultados deseados.
  
  * Ser capaz de contrastar los resultados del modelo con datos
  experimentales.

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  *Adimensionalización de un sistema de ecuaciones diferenciales o
  ecuaciones en diferencias.
  
  *Determinación comportamientos asintóticos de las soluciones.
  Trazado de mapas de fases.
  
  *Obtención de conclusiones para el sistema a partir de los
  resultados
  matemáticos.

• Actitudinales:

  Ser capaz de entender un sistema, predecir comportamientos futuros y
  modificar los comportamientos esperados, mediante el uso de modelos
  matemáticos.

Objetivos

Aprender a formular un modelo matemático a partir de las leyes de la
ciencia experimental que rigen un sistema.

Proporcionar la capacidad para extraer información del modelo matemático
para entender un sistema en ciencias experimentales, o para saber cómo
manipularlo para que proporciones los resultados deseados.

Poder determinar si el modelo propuesto es realista y describe
adecuadamente el comportamiento del sistema.

Conocer algunos de los modelos clásicos, expresados en términos de
ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias, que tienen
aplicaciones en física, química y biología.

Programa

1. El concepto de modelo matemático: Concepto de modelo
matemático. Aplicaciones de los modelos. Algunos modelos
sencillos: movimiento vibratorio, circuitos eléctricos,
radioactividad.

2. Sistemas dinámicos: Ecuaciones diferenciales
autónomas: soluciones de equilibrio, estabilidad,
comportamiento asintótico de las soluciones. Bifurcaciones en
sistemas unidimensionales. Sistemas dinámicos planos: puntos de
equilibrio, aproximación lineal cerca de un punto de equilibrio,
el teorema de Hartman-Grossman. Trazado del mapa de fases. Ciclos
límite: el teorema de Poincaré-Bendixon. Bifurcaciones en
sistemas dinámicos planos.

3. Modelos unidimensionales en dinámica de poblaciones:
El modelo de Malthus y el modelo logístico. Modelos
compensatorios, despensatorios y despensatorio crítico.
Explotación de recursos naturales: el problema del riesgo de
extinción. El modelo de Ludwig.

4. Modelos discretos unidimensionales: Introducción a
los modelos discretos en dinámica de poblaciones. Modelos
lineales. Soluciones de equilibrio y estabilidad. Análisis del
modelo logístico discreto: punto de equilibrio estable,
bifurcación, soluciones periódicas, bifurcación
por duplicación del periodo, dinámica caótica y nueva
aparición de soluciones periódicas.

5. Modelos bidimensionales en dinámica de poblaciones:
Modelos depredador presa: el modelo de Lotka-Volterra y modelos
más generales. Modelos de competición de especies: el
principio de exclusión competitiva.

6. Sistemas conservativos: Función potencial y
energía. El teorema de conservación de la energía.
Trazado de órbitas. Potenciales genéricos. Bifurcaciones en
sistemas conservativos.

7. Sistemas disipativos: oscilaciones autosostenidas en
física no lineal: Movimiento vibratorio amortiguado y
el concepto de sistema disipativo. El oscilador de Duffing
amortiguado. El oscilador de van der Pol: existencia de ciclo
límite estable, carácter disipativo del modelo y
comportamiento oscilatorio de las soluciones.

8. Fenómenos de difusión: Deducción de la
ecuación de difusión.  Soluciones elementales para el caso de
coeficiente de difusividad constante. Difusión en regiones
acotadas. Coeficiente de difusividad dependiente de la
concentración: soluciones con soporte compacto.  Ecuaciones de
difusión con conveción. Ecuaciones de reacción-difusión:
crecimiento malthusiano y crecimiento logístico: la
ecuación de Fisher, frentes de onda.

Actividades

Los alumnos abordarán en las clases prácticas algunos problemas
consistentes en formular y analizar un modelo matemático, así como
interpretar los resultados.
Estos ejercicios requieren el uso de un programa de cálculo simbólico,
para lo que se utilizará Mathematica

Metodología

Clases teóricas impartidas por el profesor.

Clases prácticas en las que los alumnos abordarán la realización de
algunos problemas.

Técnicas Docentes

Criterios y Sistemas de Evaluación

La evaluación se llevará a cabo mediante la calificación de algunos
ejercicios que los alumnos deberán abordar durante las clases prácticas, y
entregar en fechas que serán previamente indicadas.

Recursos Bibliográficos

Bibliografía básica:

- E. Medina: Apuntes de la asignatura Modelos
Matemáticos de las Ciencias Experimentales.

- J.L. Romero Romero y C. García Vázquez: Modelos y Sistemas Dinámicos.
Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz.

Bibliografía complementaria:

- J.K. Hale and H. Kocak: Dynamics and Bifurcation. Springer-Verlag 1991.

- J.D. Murray: Mathematics and Biology. Springer-Verlag 1988.

- L. Perko: Differential Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag
1991.

- R.B. Banks: Growth and Diffusion Phenomena. Mathematical Frame, Works
and Applications. Springer-Verlag,
1994.