Profesores

José Ramírez Labrador

Situación

Prerrequisitos

El Plan de Estudios no establece ningún prerrequisito para poder cursar esta
asignatura, no obstante ver el apartado siguiente.

Contexto dentro de la titulación

Buena parte del comportamiento de las funciones reales se explica a partir de
variable compleja, por ejemplo las singularidades de una función, el radio de
convergencia de una serie de Taylor o el comportamiento de las raíces se
entienden mejor desde variable compleja. La prolongación analítica está muy
relacionada con la geometría de variedades. Las técnicas de variables compleja
son muy útiles en ecuaciones diferenciales.

Recomendaciones

Es muy conveniente poseer algunos conocimientos de análisis de funciones de
una
variable real (derivadas, integrales, series de potencias), topología,
integración sobre caminos y análisis en dos variables reales. Además, dado que
se realizarán unas prácticas con el programa Matemática aplicado al cálculo de
funciones de  variable compleja unos conocimientos básicos del mismo u otro
programa simbólico similar serán bienvenidos.

Competencias

Competencias transversales/genéricas

- Capacidad de análisis y síntesis
- Capacidad de organización y planificación
- Resolución de problemas y razonamiento crítico
- Utilización de programas informáticos en particular de cálculo simbólico
- Razonamiento abstracto

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  -Aprender las propiedades básicas de las funciones de una variable
  compleja
  -Destreza en las técnicas y aplicaciones de esta teoría
  

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  -  Utilizar funciones de variable compleja comprendiendo las
  diferencias y similitudes con  las funciones reales.
  -  Relacionar la existencia de derivada (Holomorfía) de una
  función compleja con el hecho de ser desarrollable en serie
  (Analiticidad)
  -  Relacionar el T de Cauchy-Goursat con la existencia de
  primitiva y el hecho de no haber singularidades “dentro de la curva”.
  -  Aplicar las consecuencias de la analiticidad a las funciones
  (desarrollo en serie, principio de identidad, radio de convergencia
  igual a la distancia a la singularidad mas cercana,…).
  -  Aplicar el T  de Laurent al estudio de las singularidades
  aisladas de una función.
  -  Cálculo de integrales complejas, utilización del T de los
  residuos.
  -  Manejo básico de las funciones multiformes (logaritmo,
  raíces).
  

• Actitudinales:

  -  Razonamiento lógico, comprensión, disciplina, iniciativa y
  crítica.
  -  Comprensión de las matemáticas como un todo, relacionando
  funciones de variable real con funciones de variable compleja,
  funciones complejas con geometría, funciones multiformes con el T de
  la función inversa - implícita.
  
  

Objetivos

El cuerpo de los números complejos C es un supercuerpo de los reales que
es conmutativo,  cerrado algebraicamente y completo. Las funciones definidas en
subconjuntos de R con valores reales se extienden de forma natural a funciones
definidas en subconjuntos de C con valores en C.  Por ejemplo, si una función
real tiene un desarrollo de Taylor en un punto a con radio de convergencia
r>0,  la serie de Taylor correspondiente, considerando x como variable
compleja, converge en el disco B(a,r) del plano a una función infinitamente
diferenciable. De esta forma el análisis real se extiende de forma natural al
estudio de las funciones definidas de un subconjunto de C con valores en C.
Por otra parte el plano complejo es equivalente como espacio vectorial a
R^2 y la distancia inducida entre los números complejos por el módulo equivale
a la distancia euclidea en el plano por lo que es conveniente un conocimiento
previo de Análisis de una y varias variables reales, Topología y Espacios
Métricos .
El primer resultado importante es la equivalencia de diferenciabilidad en
el sentido de C con la diferenciabilidad en el sentido de R^2 más unas
condiciones adicionales: las condiciones de Cauchy-Riemann. La consecuencia es
importante: no todas las funciones diferenciables en el sentido de R^2 son
diferenciables en el sentido de C.
De hecho se probará un resultado sorprendente: el T de Cauchy -Goursat es
decir una funcion de variable compleja con valores complejos es holomorfa
(=diferenciable en el sentido de C) si y solo si es analítica (= infinitamente
diferenciable y con serie de Taylor convergente). En el transcurso de este
estudio se probará una representación integral de las funciones holomorfas (la
fórmula integral de Cauchy) por lo que utilizarán integrales a lo largo de
curvas lo que hace necesario un conocimiento previo de integración (basta con
la integral de Riemann) y de integración a lo largo de curvas en R^2.
Las series de potencias reales se extienden al caso complejo de forma
sencilla, lo que permite explicar, por ejemplo, que 1/(1+x^2) sea
infinitamente diferenciable en R pero su desarrollo en serie de potencias en el
origen sólo tiene radio =1. A partir de la representación integral de las
funciones y de su generalización para las derivadas se demuestra que la serie de
Taylor de una función holomorfa converge uniformemente en los compactos del
disco
de convergencia a la función. A partir de aquí se deduce el principio de
identidad: si dos funciones holomorfas en A región (=abierto conexo) coinciden
en una sucesión de puntos con límite en A  entonces son idénticas en A. Se
generaliza la serie de Taylor a la serie de Laurent lo que permite estudiar
las singularidades aisladas de las funciones analíticas.
Se estudia el T de los residuos que permite relacionar el valor de la
integral de una función con el comportamiento de las  singularidades del
integrando y se estudian diversos teoremas muy interesantes sobre funciones
analíticas: el principio del módulo máximo, el principio del argumento, el
lema de Schwarz, el T de aplicación local, ...
Aunque se estudiará con más profundidad en la asignatura Ampliación de
Variable Compleja, se introduce la necesidad de manejar adecuadamente las
funciones multiformes: logaritmo, raíces, detectar los puntos de ramificación,
entender que al prolongar a lo largo de una circunferencia podemos cambiar de
rama, la necesidad de elegir una rama concreta, la imposibilidad de definir de
forma continua el logaritmo o la raíz en el plano excepto el origen y como
esto está relacionado con los T conocidos de la función inversa o función
implícita.
El estudio de las funciones definidas en regiones de C (cuerpo de los
números complejos)  con valores en C es muy interesante funciones Como
estructura matemática abstracta, los espacios métricos constituyen el
fundamento indispensable para un estudio serio y riguroso del Análisis
Matemático y puede presentarse en forma de una hermosa teoría acabada, muy
asequible a la intuición geométrica y poco propensa a presentar fenómenos
patológicos.
El esquema que predomina es definición-teorema-demostración, con
abundantes ejercicios y ejemplos. Se procurará relacionar los conceptos con
otros
de análisis real. Esperamos ser capaces de transmitir la belleza de las
propiedades de las funciones analíticas, que aunque pocas en número, están en
la base de las aplicaciones matemáticas: física, ciencias experimentales,
modelos matemáticos, ecuaciones diferenciales, ... y cómo muchas
particularidades del análisis real se entienden mejor desde los complejos.

Pretendemos que el alumno sea capaz de utilizar programas de cálculo simbólico
para realizar cálculos con funciones de variable compleja y entender su
comportamiento (transformaciones conformes).

Programa

-El cuerpo de los números complejos, topología, el plano ampliado. Funciones
de
variable compleja, continuidad y derivabilidad. Funciones holomorfas,
Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Aplicaciones conformes. Funciones elementales.
-Integración, homotopía. Diversas formulaciones del teorema de Cauchy-Goursat.
Formula integral de Cauchy, teorema de Liouville, teorema de Morera, principio
del módulo máximo, lema de Schwarz.
-Sucesiones y series de funciones complejas, series de potencias, funciones
analíticas. Serie de Taylor, principio de identidad, principio de simetría.
Singularidades aisladas, serie de Laurent. Teorema de los residuos, principio
del argumento, teorema de Rouche, aplicaciones.

Actividades

Se destinará medio crédito a prácticas de ordenador con un programa de cálculo
simbólico para manejar funciones complejas, interpretar su comportamiento en un
entorno de ceros, polos y singularidades esenciales, calcular series,
integrales, etc.

Metodología

Clases participativas intercalando la transmisión de contenidos teóricos con
ejemplos ilustrativos.
Resolución de problemas por parte del profesor y del alumno.
Uso de medios audiovisuales para ilustrar aspectos concretos de la materia.
Se fomentará el trabajo personal  del alumno y la discusión de métodos y
resultados

Distribución de horas de trabajo del alumno

Nº de Horas (indicar total): 137.5

• Clases Teóricas: 28  
• Clases Prácticas: 14  
• Exposiciones y Seminarios: 3  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 5  
  • Individules:  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesor: 10  
  • Sin presencia del profesor:  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 73.5  
  • Preparación de Trabajo Personal:  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: max 4  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal):  

Técnicas Docentes

Practicas con el programa mathematica

Criterios y Sistemas de Evaluación

Considerando que la asignatura no tiene docencia la evaluación se realizará a
traves de un examen final en la fecha indicada por la planificacion docente  de
la Facultad

Recursos Bibliográficos

Bibliografía básica


Ahlfors L.V. Complex Analysis 3ª ed, McGraw-Hill 1979
Marsden J.E. Hoffman M.J. Basic Complex Analysis 2ª ed, Freeman 1987
Markushevich A.I. Teoría de las funciones analíticas. Mir 1970


Bibliografía complementaria
Hille E. Analitic function theory, Chelsea 1977
Lang S. Complex Analysis 3ª ed, Springer Verlag 1993
Needham T. Visual complex analysis, Oxford Univ. Press 1997
Volkovyski L. Lunts G. Aramanovich I. Problemas sobre la teoría de variable
compleja, Mir 1972