Profesores

María del Carmen Pérez Martínez

Situación

Prerrequisitos

El Plan de Estudios no establece ningún prerrequisito para poder cursar esta
asignatura, no obstante ver el apartado siguiente.

Contexto dentro de la titulación

Pretendemos que el alumno conozca y utilice las propiedades básicas de las
funciones analíticas y algunas de sus aplicaciones. El principio del argumento y
sus consecuencias  (Teorema de Rouche, principio de aplicación local) es útil
para comprender el comportamiento de las funciones y estudiar la posición de sus
ceros, lo que está relacionado con los teoremas de función inversa y función
implícita en varias variables reales y tiene aplicaciones en cálculo numérico.
Las transformaciones conformes, a través del T de Riemann, son básicas para
obtener soluciones de la ecuación de Laplace y resolver el problema de Dirichlet
a través de reducir el estudio de muchas regiones al disco unidad, en particular
para la ecuación del calor, estudio del potencial electroestático y de fluidos
en dos dimensiones. Comprender la prolongación analítica y el principio de
permanencia de relaciones funcionales permite extender resultados parciales a
regiones mayores y es básico en ecuaciones diferenciales, está relacionado con
variedades algebraicas y con los teoremas de la función inversa – implícita en
varias variables reales. Para facilitar la comprensión y la creatividad
dedicaremos medio crédito a laboratorio de matemáticas para que los alumnos
visualicen transformaciones conformes y funciones multiformes a través del
ordenador

Recomendaciones

Es muy conveniente poseer algunos conocimientos de análisis de funciones de
varias  variables reales, topología, ecuaciones diferenciales y geometría. Es
imprescindible conocer las técnicas que se enseñan en la asignatura 207009
Variable compleja, de la que es continuación. Además, dado que se realizarán
unas prácticas con el programa Matemática aplicado al cálculo de funciones de
variable compleja, unos conocimientos básicos del mismo u otro programa
simbólico similar serán bienvenidos.

Competencias

Competencias transversales/genéricas

- Capacidad de análisis y síntesis
- Capacidad de organización y planificación
- Resolución de problemas y razonamiento crítico
- Utilización de programas informáticos en particular de cálculo simbólico
- Razonamiento abstracto

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  -Aprender las propiedades de las funciones de una variable compleja,
  manejo de transformaciones conformes y prolongación analítica de
  funciones.
  -Destreza en las técnicas y aplicaciones de esta teoría
  

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  -Comprender y utilizar las propiedades locales de las funciones
  analíticas, el principio del argumento y sus consecuencias y utilizar
  el T de Rouche para calcular el número de ceros de una función en
  regiones sencillas.
  -Entender y utilizar  la topología de la convergencia uniforme en
  compactos tanto para funciones analíticas como para funciones
  meromorfas. Entender como se transmite la inyectividad - T de Hurwitz.
  -Comprender y usar aplicaciones conformes para transformar
  biyectivamente regiones sencillas. Comprender las consecuencias del T
  de Riemann, utilizar correctamente transformaciones bilineales o de
  Moebius y otras transformaciones sencillas, ser capaz de utilizar
  simetrías respecto circunferencias generalizadas y de aplicar la
  fórmula de Schwarz-Christoffel. Utilizar gráficamente algún programa
  simbólico para representar con ayuda de transformaciones conforme
  algunas soluciones de la ecuación  de Laplace en regiones sencillas y
  comprender su relación con problemas de hidrodinámica, transmisión del
  calor, etc.
  -Comprender y utilizar correctamente la prolongación analítica,
  estudiar los puntos de ramificación y las funciones analíticas
  globales. Ser capaz de utilizar el T de monodromía y estudiar las
  propiedades de las ramas de una función analítica global.
  
  

• Actitudinales:

  -Razonamiento lógico, comprensión, disciplina, iniciativa y crítica.
  -Comprensión de las matemáticas como un todo, relacionando funciones
  de variable real con funciones de variable compleja, funciones
  complejas con geometría, transformaciones conformes con resolución de
  ecuaciones en derivadas parciales, funciones multiformes con el T de
  la función inversa - implícita.
  

Objetivos

Conocimiento de las funciones analíticas y sus propiedades locales. Conocimiento
básico del espacio H(Omega) y M(Omega)  y su topología. Comprensión del T de
Riemann de Transformaciones conformes, del principio de simetría de Schwarz  y de
la fórmula de Schwarz-Christoffel.  Capacitación en las técnicas de
transformaciones conformes. Comprensión de la prolongación analítica, de las
funciones analíticas globales y de sus singularidades.

Programa

- Propiedades locales de las funciones analíticas, principio del argumento,
teorema de Rouché, aplicaciones
- Espacios de funciones analíticas y meromorfas, familias normales. Lema de
Ascoli-Arzela. Teorema de Montel.
- Aplicaciones conformes. Teorema de Riemann de representación conforme.
Principio de simetría. Fórmula de Schwarz-Chirstoffel. Ejemplos y aplicaciones.
- Prolongación analítica a lo largo de curvas, función analítica global teorema
de monodromía.

Actividades

Se destinará medio crédito a prácticas de ordenador con un programa de cálculo
simbólico para que los alumnos visualicen las propiedades locales de las
funciones analíticas, transformaciones conformes y funciones multiformes a través
del ordenador.

Metodología

Clases participativas intercalando la transmisión de contenidos teóricos con
ejemplos ilustrativos.
Resolución de problemas por parte del profesor y del alumno.
Uso de medios audiovisuales para ilustrar aspectos concretos de la materia.
Se fomentará el trabajo personal  del alumno y la discusión de métodos y
resultados

Distribución de horas de trabajo del alumno

Nº de Horas (indicar total): 137.5

• Clases Teóricas: 28  
• Clases Prácticas: 14  
• Exposiciones y Seminarios: 3  
• Tutorías Especializadas (presenciales o virtuales):
  • Colectivas: 5  
  • Individules:  
• Realización de Actividades Académicas Dirigidas:
  • Con presencia del profesor: 10  
  • Sin presencia del profesor:  
• Otro Trabajo Personal Autónomo:
  • Horas de estudio: 73.5  
  • Preparación de Trabajo Personal:  
  • ...
     
• Realización de Exámenes:
  • Examen escrito: maximo 3  
  • Exámenes orales (control del Trabajo Personal):  

Técnicas Docentes

Criterios y Sistemas de Evaluación

Esta asignatura está inscrita en el plan piloto de Créditos en el Espacio Europeo
de Educación Superior por lo que se evaluarán diversas aptitudes y actividades
que se propondrán en el aula, entre las cuales podrán incluirse controles
periódicos. Se valorará también la superación de las prácticas con ordenador.
Como máximo se otorgarán 3 puntos a estas actividades. Se realizará un examen
teórico - práctico de toda la materia con duración aproximada de 3 horas que
habrá de ser aprobado. Aprobado el examen se ponderará con la nota
correspondiente a las actividades que, en ningún caso, bajarán la calificación
final. Ejemplo: Sea e la calificación del examen sobre 10, p la calificación
sobre 10  de las actividades  (controles y prácticas con ordenador)  que están
valoradas en, supongamos 2 puntos, la nota final será el máximo de (e,
(8e+2p)/10)

Recursos Bibliográficos

Bibliografía especializada Básica

Ahlfors L.V. Complex Analysis 3ª ed, McGraw-Hill 1979
Conway J.B. Functions of one complex variable 2ª ed. Springer Verlag 1979
Marsden J.E. Hoffman M.J. Basic Complex Analysis 2ª ed, Freeman 1987
Markushevich A.I. Teoría de las funciones analíticas. Mir 1970
Sidorov Y.V. Fedoryuk M.V. Shabunin M.l. Lectures on the theory of functions of a
complex variable Mir 1985
Volkovyski L. Lunts G. Aramanovich 1. Problemas sobre la teoría de funciones de
variable compleja Mir 1972

Bibliografía complementaria

Hille E. Analitic function theory, Chelsea 1977
Lang S. Complex Analysis 3ª ed, Springer Verlag 1993
Needham T. Visual complex analysis, Oxford Univ. Press 1997