Profesores

Francisco Benítez Trujillo y Fernando Rambla Barreno

Situación

Prerrequisitos

Dominar las asignaturas de Topología y de Integración.

Objetivos

- Conocer el concepto de medida positiva y sus principales propiedades.
- Construcción de una medida a partir de una medida exterior.
- Conocer los ejemplos más importantes de medidas positivas.
- Construcción de la integral de funciones simples.
- Integración de funciones reales o complejas.
- Conocer y saber utilizar los principales teoremas de convergencia.
- Conocer las propiedades básicas de las medidas signadas y complejas.
- Conocer el teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym y sus aplicaciones.
- Conocer las desigualdades de Hölder y Minkowski.
- Principales propiedades de los espacios de Lebesgue.
- Introducción a la dualidad en los espacios de Lebesgue.
- Conocer el teorema de representación de Riesz y sus aplicaciones.

Programa

Programa

1.- Medidas Positivas

El concepto de sigma-álgebra.
Construcción de sigma-álgebras no triviales
Funciones medibles.
Funciones simples.
Medidas Positivas.
Construcción de medidas: medida exterior.
Complección de un espacio de medida.

2.- Integración respecto de una medida

Integración de funciones simples.
La integral de una función medible.
La integral de funciones con valores reales.
Integración de funciones con valores complejos.

3.- Medidas signadas y complejas

Conceptos fundamentales.
Medidas signadas y complejas.
La variación total de una medida.
La variación total de una medida signada.
La variación total de una medida compleja.
Continuidad absoluta de medidas.
Singularidad de medidas.
Espacios de medidas.

4.- Espacios de Lebesgue

Definición de los espacios de Lebesgue.
Las desigualdades de Hölder y de Minkowski.
Completitud de los espacios de Lebesgue.
Dualidad entre los espacios de Lebesgue.
Medidas finitamente aditivas de variación acotada.
El Teorema de Representación de Riesz.

Metodología

- Explicación de la teoría.
- Resolución de problemas por parte del profesor.
- Resolución y posible exposición de problemas por parte de los alumnos.
- Dependiendo del numero de estudiantes, posibles exposiciones de temas
teóricos por parte de los alumnos.
- Propuesta períodica de problemas que el estudiante debe resolver en el aula.

Criterios y Sistemas de Evaluación

A los estudiantes que asistan regularmente a las horas de clases se les hara
una evaluación contínua basada en la resolución y entrega de problemas, así
como en controles parciales.
Si un estudiante no está de acuerdo con este metodo de evaluacion, podra optar
a examen en la fecha establecida por la Facultad de Ciencias.

Recursos Bibliográficos

Bibliografía básica:
Análisis Real y Complejo.
W. Rudin.
Alhambra.

Bibliografía Complementaria:
Measure Theory
D. L. Cohn
Birkhäuser (1980).

Teoría de la Medida.
Juan Luis Romero Romero.
Apuntes. Copistería Facultad de Ciencias.

Measure Theory
P.R. Halmos
Springer(1974).