Profesores

José Javier Güemes Alzaga

Situación

Prerrequisitos

Álgebra Lineal, Geometría Afín y Análisis de funciones de una y varias
variables reales.

Contexto dentro de la titulación

Es una asignatura troncal y terminal del primer ciclo de la
licenciatura. Se cursa en el segundo cuatrimestre del tercer curso.
Esta asignatura que utiliza como base una introducción diferencial a
la geometría, ocupa un lugar central usando y aunando además todas las
herramientas fundamentales de un matemático, tanto algebraicas,
topológicas como analíticas.

Recomendaciones

Es recomendable el dominio de las asignaturas citadas en el apartado
prerequisitos así como las de topología general, geometría euclídea y
proyectiva, ecuaciones diferenciales y análisis vectorial.

Competencias

Competencias transversales/genéricas

Capacidad de análisis y síntesis.
Capacidad de organización y planificación.
Capacidad de resolución de problemas.
Razonamiento crítico.
Aprendizaje autónomo.
Capacidad de valorar las propias competencias y limitaciones.
Conocimiento de lenguas extranjeras.
Adaptación a nuevas situaciones.
Capacidad de aplicar los conocimientos a resoluciones prácticas.
Habilidad para trabajar en equipo.
Capacidad de pensamiento creativo y de desarrollo de nuevas ideas y
conceptos.

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  Conocimiento y uso de las definiciones, métodos y herramientas de la
  geometría desde el punto de vista diferencial de forma rigurosa y
  precisa.
  Dominio y uso sistemático de las ideas, resultados y aplicaciones
  sobre la geometría y sus aplicaciones.

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  Capacidad de demostración de manera clara y justificada de los
  resultados que se precisen.
  Capacidad de presentar los problemas de forma clara y abstracta.
  Desarrollo de las capacidades de cálculo, análisis, síntesis y
  demostración.
  Capacidad de aplicar los métodos y herramientas desarrolladas para
  resolver problemas no sólo dentro del campo de las matemáticas sino
  dentro de las ciencias teóricas, aplicadas, experimentales, sociales
  y de la salud.

• Actitudinales:

  Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las matemáticas.
  Ejemplificación de la aplicación de las matemáticas a otras
  disciplinas y problemas reales.
  Capacidad de mostrar la vertiente lúdica de las matemáticas.
  Expresión rigurosa y clara.
  Razonamiento lógico e identificación de errores en los
  procedimientos.
  Generación de curiosidad e interés por las matemáticas y sus
  aplicaciones.
  Capacidad de relacionar las matemáticas con otras disciplinas.
  Capacidad crítica.
  Capacidad de adaptación.
  Capacidad de abstracción.
  Pensamiento cuantitativo.

Objetivos

Manejo y comprensión de las técnicas básicas y fundamentales de la
geometría diferencial y de sus aplicaciones. Desarrollar los conceptos de
curva y de superficie tanto de forma intrínseca y local como extrínseca y
global, aplicándolos a la obtención de resultados clásicos. Dar una
introducción al estudio de las variedades. Interrelacionar distintas
asignaturas de la licenciatura.

Programa

Curvas, teoría local.
Parametrizaciones, Ejes móviles, Fórmulas de Frenet, Curvaturas, Teorema
fundamental de la teoría de curvas, Evolventes y evolutas, Curvas planas,
Curvas en el espacio.

Curvas, teoría global. Rotación de las tangentes, La desigualdad
isoperimétrica, Curvas convexas y óvalos.

Superficies locales extrínsecas.
Superficies parametrizadas, Transformaciones de parámetro, Formas
fundamentales, Curvas y curvaturas, Ecuaciones de Gauss-Weingarten,
Superficies mínimas,Teorema fundamental de la teoría de superficies.
Teorema egregio de Gauss.

Superficies locales intrínsecas.
Isometrías y aplicaciones conformes, Derivada covariante, Desplazamiento
paralelo, Geodésicas, Geometría riemanniana local, Aplicación exponencial.

Teoría global.
Superficies abstractas, Teorema de Gauss-Bonnet, Teorema del índice,
Introducción a las variedades.

Metodología

La asignatura es ofertada sin docencia. El sistema de evaluación se
refleja en el apartado criterios de evaluación.

Criterios y Sistemas de Evaluación

La evaluación de la asignatura se realizará mediante examen final de
la misma en la fecha y lugar indicados por la Facultad de Ciencias.
El examen consiste en dos partes. Una teórica con un valor de hasta 4
puntos sobre definiciones, proposiciones, teoremas, ejemplos y
contraejemplos de la materia de la asignatura. Otra parte práctica con un
valor de hasta 6 puntos en la que se evaluará la capacidad del alumno para
afrontar tanto situaciones ya conocidas (problemas propuestos) como
situaciones nuevas.

Se tendrá en consideración la presentación en el momento del examen de
problemas o trabajos realizados por el alumno, con una valoración en este
caso de hasta el 60 por ciento de la nota.

La superación de la asignatura deberá implicar:

Haber asimilado los conceptos fundamentales de los contenidos de la
asignatura y conocer los resultados fundamentales acerca de las relaciones
entre los conceptos matemáticos introducidos.
Haber adquirido las habilidades necesarias en la resolución de problemas .
Estar capacitado para reconocer, plantear, formular y resolver situaciones
y problemas prácticos de carácter científico, tecnológico o de otros
ámbitos, que puedan adecuarse al tratamiento de la geometría diferencial.

Recursos Bibliográficos

Bruce, J.W. Giblin, P.J. Curves and Singularities, Cambridge.

Do Carmo, M.P. Geometría diferencial de curvas y superficies.
Alianza Universidad Textos.

Hicks, N.J. Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.

Klingenberg, W. Curso de Geometría diferencial. Alianza.

Oprea, J. Differential Geometry and its applications. Prentice Hall Inc.

Struik, D. "Geometría Diferencial clásica". Editorial Aguilar, 1970.

Cordero, L.A. Fernández, M. Gray, A. Geometría diferencial de curvas y
superficies con Mathematica. Addison-Wesley Iberoamericana.