Profesores

José Javier Güemes Alzaga

Objetivos

Estudio y desarrollo de la geometría y topología de variedades.

Dotar de fundamentos de análisis global comunes a la licenciatura.

Introducir de forma intrínseca variedades o sistemas multidimensionales no
lineales.

Desarrollo de las propiedades métricas y geométricas de las variedades
o sistemas con varios grados de libertad.

Programa

Tema 1.  Variedades
Variedades Diferenciales, Funciones y Aplicaciones Diferenciables,
Particiones de
la Unidad, Espacio Tangente y Diferenciales, Inmersiones y Subvariedades,
Difeomorfismos Locales y Variedades Recubridoras.

Tema 2.  Campos y Formas
Campos de Vectores, Corchete de Lie, Teorema de Frobenius,
Campos Tensoriales y Formas, Fibrados Tensorial y Exterior, Diferencial
Exterior
y Multiplicación Interior, La Derivada de Lie.

Tema 3.  Grupos de Lie
Grupos y Algebras de Lie, Subgrupos de Lie, Teoremas de Lie,
La Aplicación Exponencial, Acciones de Grupos de Lie, Variedades
Homogéneas.

Tema 4.  Integración y Cohomología
Variedades Orientables, Integración de Formas sobre Cadenas, Integración de
Formas sobre Dominios Regulares, Integración en Variedades Riemannianas,
Cohomología de de Rham y Teorema de de Rham.

Tema 5.  Geometría Riemanniana
Métricas Semi Riemannianas, Conexiones, Símbolos de Christoffel, Torsión y
Simetría, Conexiones Métricas, Transporte Paralelo, Geodésicas, Espacios
Simétricos.

Actividades

Clases teóricas.
Clases prácticas.
Seminarios y conferencias.
Elaboración de trabajos.

Metodología

Se fomentará la participación de los alumnos en la materia.
Se pondrá énfasis en las aplicaciones.
Se motivará el estudio y la participación mediante problemas y trabajos que
permitan comprender la importancia de los temas y sus aplicaciones
prácticas.

Criterios y Sistemas de Evaluación

Los elementos fundamentales en la evaluación de la asignatura serán uno o
varios de los siguientes:

Asistencia a clase y participación en las mismas.

Ejercicios de evaluación. Periódicamente se realizarán y presentarán
ejercicios, problemas y trabajos sugeridos o propuestos.

Examen de la asignatura. Consiste en una prueba escrita con una duración de
hasta 4 horas y en la que el alumno deberá responder a problemas o
ejercicios de tipo práctico en la que se evaluará la capacidad del alumno
para afrontar tanto situaciones ya conocidas (problemas propuestos en
clase) como situaciones nuevas.

La superación de la asignatura deberá implicar:

Haber asimilado los conceptos fundamentales de los contenidos de la
asignatura y conocer los resultados fundamentales acerca de las relaciones
entre los conceptos matemáticos introducidos.
Estar capacitado para reconocer, plantear, formular y resolver situaciones
y problemas prácticos de carácter científico, tecnológico o de otros
ámbitos, que puedan adecuarse al tratamiento de la geometría riemanniana.

Método de Evaluación
La evaluación de la asignatura se realizará mediante evaluación continua
que tendrá en cuenta la participación del alumno en las clases y la
valoración de problemas y trabajos. Los problemas y trabajos cubrirán una
parte fundamental del programa oficial de la asignatura y en ningún caso
supondrán la no participación activa en las clases.

La calificación en general se obtendrá ponderando
los distintos instrumentos de evaluación.

Paticipación activa y exposiciones: 20%
Problemas asignados: 30%
Examen teórico-práctico: 50%

Recursos Bibliográficos

R. Abraham & J.E. Marsden & T. Ratiu ``Manifolds, Tensor Analysis, and
Applications``, Addison-Wesley.

W. M. Boothby, ``An Introduction to Differentiable Manifolds and
Riemannian
Geometry``, Academic Press.

N. J. Hicks, ``Notes on Differential Geometry``, Van Nostrand.

M. Spivak ``Differential Geometry``, Volume I-V, Ed. Publish or Perish.

F. Warner, ``Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups``,
Springer Verlag.