Profesorado

Francisco Benítez Trujillo y Fernando Rambla Barreno

Situación

Prerrequisitos

Dominar las asignaturas de Topología y de Integración.

Objetivos

- Conocer el concepto de medida positiva y sus principales propiedades.
- Construcción de una medida a partir de una medida exterior.
- Conocer los ejemplos más importantes de medidas positivas.
- Construcción de la integral de funciones simples.
- Integración de funciones reales o complejas.
- Conocer y saber utilizar los principales teoremas de convergencia.
- Conocer las propiedades básicas de las medidas signadas y complejas.
- Conocer el teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym y sus aplicaciones.
- Conocer las desigualdades de Hölder y Minkowski.
- Principales propiedades de los espacios de Lebesgue.
- Introducción a la dualidad en los espacios de Lebesgue.
- Conocer el teorema de representación de Riesz y sus aplicaciones.

Programa

Programa

1.- Medidas Positivas

El concepto de sigma-álgebra.
Construcción de sigma-álgebras no triviales
Funciones medibles.
Funciones simples.
Medidas Positivas.
Construcción de medidas: medida exterior.
Complección de un espacio de medida.

2.- Integración respecto de una medida

Integración de funciones simples.
La integral de una función medible.
La integral de funciones con valores reales.
Integración de funciones con valores complejos.

3.- Medidas signadas y complejas

Conceptos fundamentales.
Medidas signadas y complejas.
La variación total de una medida.
La variación total de una medida signada.
La variación total de una medida compleja.
Continuidad absoluta de medidas.
Singularidad de medidas.
Espacios de medidas.

4.- Espacios de Lebesgue

Definición de los espacios de Lebesgue.
Las desigualdades de Hölder y de Minkowski.
Completitud de los espacios de Lebesgue.
Dualidad entre los espacios de Lebesgue.
Medidas finitamente aditivas de variación acotada.
El Teorema de Representación de Riesz.

Actividades

Asignatura sin docencia.

Metodología

Asignatura sin docencia.

Criterios y Sistemas de Evaluación

Examen en la fecha establecida por la Facultad de Ciencias.

Recursos Bibliográficos

Bibliografía básica:
Análisis Real y Complejo.
W. Rudin.
Alhambra.

Bibliografía Complementaria:
Measure Theory
D. L. Cohn
Birkhäuser (1980).

Teoría de la Medida.
Juan Luis Romero Romero.
Apuntes. Copistería Facultad de Ciencias.

Measure Theory
P.R. Halmos
Springer(1974).