Profesorado

José Javier Güemes Alzaga

Situación

Prerrequisitos

Son prerrequisitos para cursar la asignatura conocimientos básicos de
topología general y de teoría de grupos.

Contexto dentro de la titulación

Es una asignatura central dentro de la titulación. La asignatura es de
contenido topológico fundamental más allá del lenguaje, técnicas y
resultados básicos.
Junto con el análisis y el álgebra, son las herramientas
imprescindibles de las matemáticas y sus profundas aplicaciones a las
ciencias. Se cursa en cuarto año.

Recomendaciones

Es recomendable el dominio de las asignaturas de topología general,
álgebra lineal y teoría de grupos.

Competencias

Competencias transversales/genéricas

Capacidad de análisis y síntesis.
Capacidad de organización y planificación.
Capacidad de resolución de problemas.
Razonamiento crítico.
Aprendizaje autónomo.
Capacidad de valorar las propias competencias y limitaciones.
Conocimiento de lenguas extranjeras.
Adaptación a nuevas situaciones.
Capacidad de aplicar los conocimientos a resoluciones prácticas.
Habilidad para trabajar en equipo.
Capacidad de pensamiento creativo y de desarrollo de nuevas ideas y
conceptos.

Competencias específicas

• Cognitivas(Saber):

  Conocimiento y uso de las definiciones de la topología básica
  (algebraica y geométrica) de forma rigurosa y precisa.
  Dominio y uso sistemático de las ideas, resultados y aplicaciones
  sobre la topología y sus invariantes.
  
  

• Procedimentales/Instrumentales(Saber hacer):

  Capacidad de demostración de manera clara y justificada de los
  resultados que se precisen.
  Capacidad de presentar los problemas de forma clara y abstracta.
  Desarrollo de las capacidades de cálculo, análisis, síntesis y
  demostración.

• Actitudinales:

  Conocimiento de los procesos de aprendizaje de las matemáticas.
  Ejemplificación de la aplicación de las matemáticas a otras
  disciplinas y problemas reales.
  Capacidad de mostrar la vertiente lúdica de las matemáticas.
  Expresión rigurosa y clara.
  Razonamiento lógico e identificación de errores en los
  procedimientos.
  Generación de curiosidad e interés por las matemáticas y sus
  aplicaciones.
  Capacidad de relacionar las matemáticas con otras disciplinas.
  Capacidad crítica.
  Capacidad de adaptación.
  Capacidad de abstracción.
  Pensamiento cuantitativo.
  
  

Objetivos

La topología algebraica que podemos denominar también topología geométrica
o simplemente topología forma junto con la a topología general un bagaje
básico de conocimiento de cualquier matemático. Históricamente es anterior
al formalismo y abstracción  de la topología general pero sus herramientas
y comprensión son más fundamentales.

Los objetivos principales son:
Manejo y comprensión de las técnicas básicas y fundamentales de la
topología algebraica y de sus aplicaciones. Desarrollar los conceptos de
homotopía y de grupo fundamental, aplicándolos a la obtención de
resultados clásicos. Dar una introducción al estudio topológico de las
variedades. Interrelacionar distintas asignaturas de la licenciatura
simplificando su exposición y desarrollo.

Programa

Homología. Grafos. Triangulaciones. Símplices. Complejos de poliedros.
Característica de Euler-Poincaré. Clasificación de superficies.
Homología singular y axiomática. Mayer-Vietoris. Aplicaciones.

Homotopía y Grupo Fundamental. Homotopía de caminos y aplicaciones. Grupo
fundamental de un espacio. Teorema de Van Kampen. Ejemplos y Aplicaciones.

Espacios Recubridores. Recubrimientos. Espacios recubridores regulares y
espacios cociente. Espacio recubridor universal. Transformaciones
recubridoras y grupo fundamental. Teoría de Galois.

Metodología

La asignatura es ofertada sin docencia. El sistema de evaluación se
refleja en el apartado criterios de evaluación.

Criterios y Sistemas de Evaluación

La evaluación de la asignatura se realizará mediante examen final de
la misma en la fecha y lugar indicados por la Facultad de Ciencias.
El examen consiste en dos partes. Una teórica con un valor de hasta 4
puntos sobre definiciones, proposiciones, teoremas, ejemplos y
contraejemplos de la materia de la asignatura. Otra parte práctica con un
valor de hasta 6 puntos en la que se evaluará la capacidad del alumno para
afrontar tanto situaciones ya conocidas (problemas propuestos) como
situaciones nuevas.

Se tendrá en consideración la presentación en el momento del examen de
problemas o trabajos realizados por el alumno, con una valoración en este
caso de hasta el 60 por ciento de la nota.

La superación de la asignatura deberá implicar:

Haber asimilado los conceptos fundamentales de los contenidos de la
asignatura y conocer los resultados fundamentales acerca de las relaciones
entre los conceptos matemáticos introducidos.
Haber adquirido las habilidades necesarias en la resolución de problemas.
Estar capacitado para reconocer, plantear, formular y resolver situaciones
y problemas prácticos de carácter científico, tecnológico o de otros
ámbitos, que puedan adecuarse al tratamiento de la topología.

Recursos Bibliográficos

Bredon, G.E.: Topology and Geometry. Springer GTM 139.

Greenberg, M.J., Harper, J.R. Algebraic Topology. Benjamin.

Massey, W.S. Algebraic Topology: An Introduction. Harcourt.

Munkres, J.R. Elements of Algebraic Topology. Addison-Wesley.