01. Introducción a las ecuaciones diferenciales
Definiciones y terminología. Interpretación geométrica. Algunos modelos de
aplicación.

        

            02. Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Condiciones básicas para existencia y unicidad de soluciones para el
problema de valor inicial.
Estudio y resolución de las ecuaciones con variables separables, homogéneas,
exactas (factor integrante) y lineales.
Aplicaciones: modelos de crecimiento y decrecimiento, enfriamiento, mezclas
químicas, ecuación logística, reacciones químicas, etc.


        

            03. Ecuaciones diferenciales de orden superior.
Existencia de soluciones para los problemas de valor inicial y de valores
de frontera.
Resolución de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes.
Aplicaciones: modelo de movimiento vibratorio.


        

            04. Soluciones en serie de una ecuación diferencial.
Introducción a las series de potencias.
Funciones analíticas y desarrollos de Taylor.
Puntos singulares y ordinarios de una ecuación.
Método de la serie de Taylor.
Resolución en serie de ecuaciones en puntos ordinarios: la ecuación de
Cauchy-Euler.
Existencia de solución en serie de potencias en puntos singulares regulares.

        

            05. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Condiciones básicas para la existencia y unicidad de soluciones para el
problema de valor inicial.
Expresión matricial de un sistema lineal.
Resolución de Sistemas lineales.
Introducción a los sistemas dinámicos.


        

            06. Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
Repaso de los métodos numéricos, Tipos de error, algoritmos, convergencia.
Diferenciación e integración numérica.
Métodos de Euler y Runge-Kutta.
Métodos multipaso.
Ecuaciones y problemas de ecuaciones de orden superior.
Problemas de valores frontera

        

            07. Introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales.
Resolución por integración y por separación de variables.
La ecuación de flujo de calor.
La ecuación de ondas.
La ecuación de Laplace.
Aproximación numérica de las soluciones de ecuaciones en derivadas
parciales.

        

            0. FUNCIONES DE UNA VARIABLE.
Números reales y complejos. Definición de función. Concepto de continuidad y límite. Cálculo de límites. Concepto
de derivada. Interpretación geométrica de la derivada. Cálculo de derivadas. Teoremas del valor medio. Regla de
L`Hôpital. Derivación implícita. Función primitiva. Cálculo de primitivas. Problema del área de una regióny
plana. Integral de Riemann. Propiedades de la integral de Riemann. Teorema del valor medio. Teorema fundamental del
Cálculo y regla de Barrow. Aplicaciones de la integral. Integrales impropias.


        

            1. SUCESIONES Y SERIES.
Sucesiones reales. Límite de una sucesión. Conceptos de convergencia y divergencia. Series reales: de términos
positivos, alternadas y de términos cualesquiera. Conceptos de convergencia y divergencia. Series geométricas y
armónica simple. Criterios de convergencia. Series de potencias. Teorema de Taylor. Series de McLaurin y Taylor.
        

            2. MÉTODOS NUMÉRICOS.
Resolución numérica de ecuaciones. Interpolación polinómica. Aproximación de funciones. Diferenciación e
integración numérica.
        

            3. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
Introducción a funciones de varias variables. Superficies en el espacio. Continuidad y límites. Derivadas parciales.
Diferenciabilidad. Regla de la cadena. Derivadas direccionales. Derivación implícita. Optimización de funciones de
varias variables. Multiplicadores de Lagrange.
        

            4. CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
Integrales iteradas. Integrales dobles y triples. Aplicaciones. Cambio de variables: coordenadas polares, cilíndricas
y esféricas.
        

            01. MATRICES Y DETERMINANTES.
Definición de matriz.- Operaciones lineales con matrices.- Producto de matrices.- Matriz traspuesta. Propiedades.-
Tipos de matrices.- Matriz inversa. Unicidad y propiedades.- Operaciones elementales. Matrices elementales.- Matrices
equivalentes.- Forma canónica de Hermite.- Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa de una matriz.-
Rango de una matriz.- Cálculo del rango mediante operaciones elementales.- Definición y propiedades del determinante
de una matriz cuadrada.- Aplicación de los determinantes.
        

            02. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES.
Terminología y notaciones.- Sistemas equivalentes.- Método de eliminación de Gauss.- Teorema de Rouché-Fröbenius.-
Sistemas homogéneos: Espacio nulo de una matriz.- Resolución de sistemas: métodos directos e iterativos.

        

            03. Espacio vectorial R^n.
Definición y propiedades. Dependencia e independencia lineal. Propiedades. Base y dimensión del espacio vectorial
R^n. Coordenadas de un vector. Cambio de base en R^n. Subespacios vectoriales. Caracterización. Ecuaciones de un
subespacio. Base y dimensión de un subespacio.
        

            04. Espacio vectorial euclídeo R^n.
Producto escalar. Módulo de un vector y ángulo entre vectores. Bases ortogonales y ortonormales. Método de
ortonormalización de Gram-Schmidt.
        

            05. Diagonalización de matrices.
Autovalores y autovectores de una matriz cuadrada. Propiedades. Matriz diagonalizable. Diagonalización.
Diagonalización de matrices simétricas por semejanza ortogonal. Potencias de una matriz diagonalizable. Forma
canónica de Jordan para matrices de orden dos y tres.
        

            06. Cónicas.
Definición de cónica. Ecuación matricial. Ecuación reducida de una cónica. Clasificación y elementos principales
de las cónicas. Es1tudio de las cónicas ordinarias.
        

            07. Cuádricas.
Definición de cuádrica. Ecuación matricial. Ecuación reducida de una cuádrica. Clasificación de las cuádricas.
Estudio de las cuádricas ordinarias.
        

            08. Curvas planas.
Concepto de curva plana. Expresiones de una curva: paramétrica, explícita e implícita. Tangente y normal en un punto
de una curva. Puntos singulares y puntos ordinarios. Curvas planas en coordenadas polares.
        

            09. Curvas alabeadas.
Definición de curva en el espacio. Ecuaciones de una curva. Punto ordinario y punto singular. Longitud de un arco de
curva. Triedro y fórmulas de Frenet. Recta tangente, normal y binormal. Curvatura y torsión. Plasnos osculador,
normal y rectificante.
        

            10. Superficies.
Concepto de superficie. Plano tangente y recta normal a una superficie. Superficies de revolución y de traslación.
Superficies cónicas y cilíndricas.